作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 三角系统的有限和为零则系数为零
时间Sun Oct 10 02:17:18 2021
不好意思再请教一个由傅立叶级数衍生的一个小问题
首先聊个over F = R or C的多项式 p(x) = a_n*x^n + ... + a_0
令S是F的子集, 并且 p(x) = 0 on S
只要S有>= n+1个相异点, 我们就能证明p(x)的系数a_i全部为0
而如果S包含某个open set, 那我们就可以用微分去得到相同结果
也就是说
S越大有越多证法: (1) #S >= n+1: 提出相减
(2) S在F有聚点: 幂级数为零的点有聚点则系数为0
(3) S包含某个开子集: 微分
但是今天傅立叶级数用到的是三角系统, 上述的(1),(2)都不适用了...
但是我还是觉得会有以下定理:
==================================================================
q
<Theorem> Let f(x) := Σ c_k*e^(i*k*x) , c_k€C, x€R, p<=q, p,q€Ζ,
k=p
if f(x) = 0 on S, where S is a subset of R s.t. #S = ∞
then c_k = 0 for all k = p~q
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当然如果S包含开子集, 我可以用
微分凑成凡得梦矩阵得证, 所以才想问较小范围的话呢
总之, 想请问三件事情:
(1) <Theorem>正确吗?
(2) 对於N个三角基底相加, 是否有像多项式有零点的最大数量, 超过就让所有系数为0
(3) 承(1), (2),
x€R如果改成x€C又如何?
也就是说原本f:R→C, 会变成C→C
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麻烦版友了~谢谢!!
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※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/10/2021 03:22:06
1F：推 Vulpix : 你的S要再加点限制吧，晶格就是trivial反例。10/10 10:24
2F：推 Vulpix : 考虑g(z)=Σ_{k=p}^{q}c_k*z^k，这个多项式在Ｃ上只10/10 12:44
3F：→ Vulpix : 有有限多个根，所以落在单位圆上的根也有限。10/10 12:45
4F：→ Vulpix : 有限多是指「顶多 q 个」 这件事。 10/10 12:45
5F：→ Vulpix : S要限制在单一周期内，例如 [0,2π) 之类的。10/10 12:47
1. 欸对因为是周期函数, 所以要限制没错
2. 原来把e^(ikx)看成z^k, z=e^ix即可...谢谢解惑!
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/10/2021 15:25:20
6F：推 Vulpix : S限制在单一周期内，那S就会有聚点。刚好在边界的话 10/10 20:19
7F：→ Vulpix : ，就自己移动S吧。反正S在R/Z上会有聚点。 10/10 20:20
8F：→ Vulpix : 然後改成Ｃ应该也可以用这个方法看，反正 Riemann 10/10 20:22
9F：→ Vulpix : sheet 有切好就好。 10/10 20:22
10F：→ znmkhxrw : 了解~感恩 10/10 21:29