作者secjmy (大雄)
看板Math
标题Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e.
时间Sat Oct 9 19:50:21 2021
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 在高微证过当f€C[a,b]时, 如果有
: b
: ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼积分)
: a
: 那就有f处处为0
: 今天的问题是假设没有连续性, 如果一样假设
: b
: ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue积分)
: a
: 是否能推出f = 0 almost everywhere
: ==========================================
: 我目前是要假设f在[a,b]有界就可以证出来了
: (利用一串连续函数逼近L^1函数, 再用Weierstrass多项式逼近到那些连续函数
: 只是最後统合的过程必须把|f(x)|提出来, 所以需要有界)
: 因此想知道是否原题有反例还是有原题成立的证明
: 谢谢！
我不确定一般的[a,b]区间是对不对，如果是[0,1]的话是对的
x
考虑g(x)=∫f(t)dt，则因f是L^1，所以g在[0,1]上(绝对)连续，而且g'=f a.e.
0
注意到g(1)=0，所以
1 1 1
∫g(t)t^n dt=g(t)t^{n+1}/(n+1)| -∫f(t)t^{n+1}dt=0 for all n>=0
0 0 0
因为g是连续，所以利用高微证过的结果，g=0
因此f=0 a.e.
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1F：推 Vulpix : [a,b]上就凑 [(t-a)/(b-a)]^n 吧。 10/09 20:02
我一开始以为换成[a,b]的话在分部积分那边会出问题
不过刚刚仔细写一下，发现[a,b]的情况g(a)=g(b)=0，真是太完美了XD
2F：推 znmkhxrw : 这也太神奇了吧!! 刚刚check L积分的分布积分条件 10/10 00:26
3F：→ znmkhxrw : 是吻合的, 也太神来一笔, 感谢!! 10/10 00:26
4F：→ znmkhxrw : 题外话, 思考这问题有什麽motivation吗@@?? 10/10 00:26
也没什麽motivation耶，倒是背後有一些故事可以闲聊一下
我之前看过这题也不太会写，就拿去问C老师(他以前考试出过这题)
C老师的作法用了很多大定理，包括Lusin theorem, Urysohn lemma, Weierstrass
approximation theorem
隔了一阵子後我刚好翻到以前S老师的高微笔记有个类题，刚好就是用分部积分解的
於是我想到也许能用在这题
结果试了一下还真的可以，实在是运气很好
我就拿我的作法去跟C老师分享，他检查所有条件都没问题後，表示不错，简单很多XD
类似的题目指的是这个，有兴趣的话可以想一下，作法差不多
f: L^1 on [0,1]
1
If ∫f(t)sin(nπt)dt=0 for all n>=1, then f=0 a.e.
0
※ 编辑: secjmy (140.114.34.213 台湾), 10/10/2021 02:03:54
5F：推 znmkhxrw : 这历史我喜欢XDD~谢谢 10/10 02:18
6F：→ znmkhxrw : 我原本认为这是一道随便都能google到的普通题目, 10/10 02:18
7F：→ znmkhxrw : google不到时就想说或许也合理, 因为我是在证明其他 10/10 02:19
8F：→ znmkhxrw : 问题的途中需要@@ 10/10 02:19
9F：→ znmkhxrw : 原来算是一道被考过的题目XDD 10/10 02:19
10F：推 Vulpix : 本来看到这个，我想用Legendre polynomial，可是好 10/10 15:11
11F：→ Vulpix : 像没那麽方便。 10/10 15:11
12F：推 Vulpix : g(a)=g(b)=0真的很漂亮。 10/12 23:47