刚好有在Stein-Shakarchi第一本做过, 这个结果可以视为某种Uncertainty principle Proof : We may assume f is compactly supported in [0, 1/2]. then f(x) ~ Fourier "series" of f. Note that 1. the Fourier coefficients of f (over T = [0, 1]) equal to the Fourier transform f^ (over R). 2. By 1. and the fact that f^ is also compactly supported, the above Fourier series is actually a finite sum, that is, a trigonometric polyonomial g(x) 3. From uniqueness theorem of Fourier series, f(x) = g(x) in [0,1]. Unless f is a zero function, f has a finite number of roots in [0,1] and hence cannot be compactly supported in [0,1/2]. Done. Remark: 印象中 f^的假设可以放宽成exponential decay, 证明的套路应该是利用 inversion formula去得到f的real analyticity ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 因为在讯号处理的资料看到: : 1. 有限时域的讯号做傅立叶转换後必为无限频域(除了0讯号) : 2. 有限频域的讯号做反傅立叶转换後必为无限时域(除了0讯号) : 所以标题所述应该是对的, 只是脱离实分析太久没有idea QQ : 以下用严格数学描述, 再请教如何证明了, 谢谢！ : ============================================================= : <Theorem>(想证) : 令 f:R→C∪{+-∞} 为一定义在实数的复值函数 : 且 f€L^1(R) : 令 F(x):= ∫ f(t)*exp(-2πi*x*t)dt for all x€R : R : 若 f与F均有compact support : 则 f = 0 almost everywhere : ============================================================== : P.S. : (1) 傅立叶跟反傅立叶只差在负号, 所以<Theorem>对的话就好 : (2) 写了一下发现 "f:R→R∪{+-∞}" 的版本如果对也不能推得 "f:R→C∪{+-∞}" : 的版本是对的, 所以才直接把条件写成复值函数 : (3) 刚刚证出说, 若f(x)是连续函数且微分可以搬进去积分里(原条件可自然推得) : 那藉由一直微分就可以用Weierstrass Approximation定理证明结论了 : 因此看有没有不要那麽强的条件@@? : (4) 承(3), 如果有弱一点的Weierstrass Approximation定理就证完<Theorem>了: : --------------------------------- : b : 若 ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 : a : 则 f = 0 almost everywhere : --------------------------------- : 也就是说, 照一直微分的解法中, 如果上述成立, 那就证完了 : 因此好奇上述成不成立? : 谢谢帮忙~~ -- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 223.136.224.251 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1633644512.A.003.html