作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[代数] 问一个不等式代换的问题
时间Sat Oct 2 22:37:02 2021
这两天被问到一题不等式
已知 a, b, c > 0, abc = 1
试证 (a+b)(b+c)(c+a) >= 4(a+b+c-1)
(1) 想问该题解法（我的不等式很差...）
(2) （转问）有没有可能使用代换
a = x/y, b = y/z, c = z/x 来解这题
(3) 上述的代换将 symmetric 变成了 cyclic
请问这是正常的吗？
(4) 有没有什麽诀窍
可以判断本题适不适合使用该代换
(5) 原本 (a, b, c) 的自由度是 2
（a = u, b = v, c = 1/uv, 其中 u, v 独立）
但是在代换之後, 我找不到 (x, y, z) 自由度是 2 的证据
（找不到独立变数 u, v 使得 x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)）
这使得 (x, y, z) 看起来很像是自由度 3
想问 (x, y, z) 是否有隐藏关系式？
还是我对自由度的理解有问题？
或是代换後的自由度本来就能不一样？
说起来 如果设 a in R, 再设 a = bc 应该也有类似的效果
总之差不多被搞迷糊了qw q
虽然 (1) 也蛮重要的, 但困扰的其实是 (5)
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啊 难道这代表我可以多设一个 (x, y, z) 的关系式？
可以设成 xxz + zzy + yyx = 1 吗 好像没啥用
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.10.105.161 (台湾)
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1F：→ LPH66 : 原式只对 x,y,z 两两的比有兴趣, 所以 x,y,z 同乘 10/02 22:41
※ 编辑: TimcApple (101.10.105.161 台湾), 10/02/2021 22:41:27
2F：→ LPH66 : 同一数式子本质不变, 所以自由度仍然是 2 10/02 22:41
3F：→ LPH66 : 一楼被吃了所以再补一下: (x,y,z) = x*(1,u,v) 10/02 22:42
4F：→ TimcApple : 可是那样 x, u, v 不是三个独立变数吗 10/02 22:43
5F：推 LPH66 : 但 x 这下就只要不是 0 就会从式子里消失了 10/02 22:44
6F：→ TimcApple : ok 这样应该可以 感谢 10/02 23:03
7F：推 cmrafsts : 你把a,b,c都开三次根，就可以齐次化了 10/02 23:21