作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [机统] 一题期望值
时间Sat Sep 25 16:17:01 2021
※ 引述《thumbg75446 (EDWIN)》之铭言：
: 有八个人围成一圈考试
: 这八个人可以转头看与自己相邻的其中一个人的答案
: 转左边或右边是等机率的
: 每个人的转头也不会影响到别人转哪个方向
: 那麽没有被人看的人的个数期望值是多少？
: 想问这题要怎麽样讨论？
: 感谢大大
→ plyong95084 : 8*(1/2)^2=2 ? 09/24 22:31
推 LPH66 : 楼上正解, 每个人有 1/4 机率不被看 09/24 23:28
那如果是这样，有(1/4)^8没有人被看吗？
※ 编辑: thumbg75446 (114.25.46.44 台湾), 09/24/2021 23:43:29
推 LPH66 : 这就不对了, 因为各个 1/4 不是独立 09/24 23:59
推 tuhunger : 回原po,乘8和8次方的差别 09/24 23:59
→ LPH66 : 期望值的线性性质不需要独立也能成立 09/24 23:59
那不是独立不就代表每个人不被看的机率不是1/4吗？
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一楼正解，理由L大在推文也说了。
针对这个题目仔细下去算的话，也可以得到一样的结论：
若8个人按照1-8的号码坐一圈, 2号在1号右边, 以此类推, 1号在8号右边
先设 A_i = 1 , 若第i个人向右看 ; A_i=0, 若第i个人向左看
则 A_i = 1和A_i=0的机率都是 1/2, 且A_i 彼此都独立
再设 B_i = 1, 若第i个人没被看; B_i = 0, 若第i个人有被看
则
B_1 = 1 if A_2=1且A_8=0 ; 除此之外 B_1=0
B_8 = 1 if A_1=1且A7=0 ; 除此之外 B_8 = 0
i=2~7 时, B_i = 1 if A_(i+1)=1且A_(i-1)=0 ; 除此之外 B_i=0
或是可以写成:
B_1 = A_2 * (1-A_8)
B_i = A_(i+1) * (1 - A_(i-1)) , i = 2 ~7
B_8 = A_1 * (1-A_7)
因为 A_8 跟 A_2 独立, 所以 B_1 = 1 的机率 为 P(A_8=1)*P(A_2=0) = 1/4
同理, A_(i+1)跟A_(i-1)都独立, 所以每个 B_i=1 的机率都是 1/4
B_i的期望值 E(B_i) = 1*1/4 + 0*3/4 = 1/4
很明显 B_i 彼此不独立, 所以 P(B1=1且B2=1) 不等於 P(B1=1)P(B2=1)
但是期望值不用独立也可以相加, 所以
E(B1+B2+B3+...+B8) = E(B1) + ... + E(B8) = 1/4 * 8 = 2
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.125.75 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1632557823.A.0CD.html
※ 编辑: mantour (140.112.125.75 台湾), 09/25/2021 16:18:30
1F：推 thumbg75446 : 推推！感谢大大详细讲解！ 09/25 22:45
2F：推 alan23273850: 赞赞赞 这篇不错 09/27 17:32
3F：→ alan23273850: 如果能进一步解释为什麽期望值不用独立也可以相加 09/27 17:33
4F：→ alan23273850: 就更棒了呢！ 09/27 17:33
以下同样只针对这个题目讨论，更严谨和一般性的证明留待大大分享
简单把A1~A8的所有可能情况列出来
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
case 1 0 0 0 0 0 0 0 0
case 2 0 0 0 0 0 0 0 1
...
case 256 1 1 1 1 1 1 1 1
再把对应的 B1 ~ B8 , 和 B1~B8 的总和(=没被看的人数) sumB 写出来
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 sumB
case 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
case 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1
...
case 256 0 0 0 0 0 0 0 0 0
注意到 上表中每个直行的总和/256 分别就是Bi 和 sumB 的期望值
而每一横列的sumB都是该列B1~B8的总和,
因此sumB这一行的总和其实会等於B1~B8行的行总和的总和
因此就得到sumB的期望值等於各个Bi的期望值的和
这里只需要用到交换行列求和顺序总和结果不变的性质
所以跟Bi彼此独不独立没有关系
写成算式：
令
Bij = case i 中 Bj 的值
sumBi = case i 中 sumB 的值
则
sumBi = sigma_(j=1~8) Bj
E(Bj) = sigma_(i=1~256) Bij / 256
E(B1)+E(B2)+...+E(B8)
= sigma_(j=1~8) E(Bj)
= sigma_(j=1~8)[ sigma_(i=1~256) Bij ] / 256
交换求和顺序
= sigma_(i=1~256)[ sigma_(j=1~8) Bij ] / 256
= sigma_(i=1~256) sumBi / 256
= E( sumB )
※ 编辑: mantour (36.226.168.27 台湾), 09/27/2021 20:54:11
※ 编辑: mantour (36.226.168.27 台湾), 09/27/2021 20:54:44
※ 编辑: mantour (36.226.168.27 台湾), 09/27/2021 20:56:50
※ 编辑: mantour (36.226.168.27 台湾), 09/27/2021 21:02:51