作者cmrafsts (喵喵)
看板Math
标题Re: [微积] 求一无穷交错级数的上界或其收敛解
时间Sun Sep 12 00:16:58 2021
※ 引述《caron0225 (淯仔)》之铭言：
: 大家好，小弟在处理一个工程问题时，遇到一个无穷交错级数。
: 如下图:
: https://imgur.com/Ulf6GWR
: 交错级数审歛法可以容易确定该无穷级数会收敛。
: 实务上，我只需要找到尽可能小的上界，可能就够用了~
: 假定该级数他收敛到某个L，那麽我可以利用|S_k-L|<a_k性质
: 很快得到一个上限，如下图
: https://imgur.com/n3kQooz
: 也就是该无穷级数会被级数的首项bounded住
: 但是目前这个上限稍嫌太大，感觉可以再小。
: 根据实务上的经验，还有无意间注意到这个级数的收敛值(如下图)
: https://imgur.com/y8I373c
: 猜测该级数可能会被下图bounded住
: https://imgur.com/WfPfapW
: 但是如果可以的话，希望在更小一点，如下图...
: https://imgur.com/IUbs654
: 有没有大大可以提点一下数学上的论证思路...
: 感谢大家看完我的问题!!
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你的无穷级数在 t 趋近正无穷时的 dominating term 是 exp(-tπ) ，所以你要趋近0更
快的上界都不会成立。
2
如果你把整个级数除掉 exp(-tπ) ，剩下的东西会在[0,∞]上定义一个正值连续函数，在
0 的值是 π/4，在 ∞的值是 1 。至於他是不是递增函数我不确定。
也许你不需要直接看这个级数，而是需要与它相关的级数? 例如它的逐项微分或是某些
积分变换的结果？
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能看到Ahlfors复变课本的这个世界真是美妙
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 180.214.191.72 (台湾)
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1F：推 Poincare : 学姐好 09/12 01:33
2F：→ caron0225 : 感谢cmrafsts大大看完我的问题与建议 09/15 10:46
3F：→ caron0225 : 有用电脑去计算级数的前1000000项，显然都远大於我 09/15 10:47
4F：→ caron0225 : 猜的那两个函数 09/15 10:47
5F：→ caron0225 : 实务上我只需要够小的上界即可，避免低估工况 09/15 10:48
6F：→ caron0225 : 我想直接用电脑去计算有限项来当上界可能比较快... 09/15 10:49
7F：→ caron0225 : 虽然说是期待该级数能收敛到哪个漂亮的公式啦...XD 09/15 10:49
他在 t --> 0 或正无穷的行为不一样。我相信趋近正无穷时那个界已经够小了，但是趋近
0 时就会有点麻烦。你应该可以在够靠近时找一个你想要的指数，但是常数要大一点。这
不见得会比较好。该找怎麽样的 bound 还是取决於你的实际问题。
※ 编辑: cmrafsts (180.214.191.72 台湾), 09/16/2021 00:36:09