※ 引述《kiplove114 (wei)》之铭言： : https://imgur.com/83vqIgZ : 如图所叙述之题目 : 答案为C : 不太知道该如何下手? : 求解感谢 来个邪门歪道的解法。 首先 a 不可能是 0，b/(x^2+1) 要同时有最大值和最小值的话，b 只能是 0。 x^2 + 1 = (x + b/2a)^2 - (b/a)(x + b/2a) + b^2/4a^2 + 1 所以在 x≠-b/2a 的时候， 原式 = 2a/[ (x + b/2a) + (b^2/4a^2 + 1)/(x + b/2a) - b/a ] 由算几不等式知道最大值、最小值是这两者之一： 2a/(√(b^2/a^2 + 4) - b/a) 和 2a/(-√(b^2/a^2 + 4) - b/a) 也就是 ( a√(b^2/a^2 + 4) + b )/2 和 ( -a√(b^2/a^2 + 4) + b )/2 两数的和 b = 4 + (-1) = 3 两数的积 -a^2 = -4 这样也可以得到 a^2 + b = 7。 算几不等式这招…… 其实多数时候没有判别式好用，但也有时候算几算起来数字比较简单的， 虽然要经过很刻意的设计。 一般是判别式由於系数过大导致因式分解困难度高的时候。 ----------- 再来一个比较正门歪道的。 因为最小值是 -1，所以 (2ax+b)/(x^2+1) + 1 的最小值是 0。 也就是 [(x+a)^2 + b+1-a^2]/(x^2+1) 的最小值是 0。 所以 b+1-a^2 一定是 0，毕竟这数字跟最小值同号。 然後我们也知道了 |x+a|/√(x^2+1) 的最大值是 √5。 (x.0) 与 (-a,0) 的距离是 (x,0) 与 (0,1) 的距离的 √5 倍。 为了方便，标一下点：A(-a,0)、B(x,0)、C(0,1) 所以不等式是 AB/BC≦√5。 左式用正弦定理换成 sinC/sinA 显然最大值是 1/sinA，所以他是 √5。 这样 a^2 + 1 = 5，所以 a^2 = 4，b = a^2 - 1 = 3 就顺便算出来了。 正弦定理解这类问题好用的时候是在分子或分母有一项是完全平方的时候， 如果已经有完全平方还特地展开算判别式是很多此一举的。 --

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