以前只听过逆运算子，没有真的研究过 我本来以为只是类似要求 L(D) y = f 先因式分解 (D-a1)(D-a2)... y = f 然後看是要一层一层套积分公式作用(D-a1)^-1、(D-a2)^-1 之类的 看来是想太少了。 这样逐层积分应该不会很慢吧Orz 微分逆运算的不唯一性，确实是造成各种麻烦(计算上和理论上)。不过，我的看法和原Po 不大一样，我认为因式分解、交换甚至部分分式稍微小心都是不是最大的问题，真正造成 这题各种错解，是因为「容易出错」的公式3，本身就有问题... ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言： : 这几天稍微对 ODE 特解的逆运算子法花了点时间。 : 读书时代我也是从未使用过的人， : 最近回了两篇文章，爬完文才发现困扰大家的问题一直都差不多。 : 基於逆运算子的常用范围，本文只针对两类算子：D-aI、XD-aI。 : 一般来说一个 ODE 可以写成 L(X,D)y = f。 : D = d/dx 是一阶微分算子，而 X 则是「乘以 x」这个运算的算子。 : 限制在有限阶的时候，就要求 L(X,D) 对 D 的 degree 是有限的（至少要是 1）。 : 明确一点写出来的话，L(X,D) = p_n(x)D^n + ... + p_1(x)D + p_0(x)I。 我们直接来看公式，回忆不定积分的公式，表面上写 积分 AAA = 积分 BBB，其实隐含了可以差一个常数。 在微分算子的情形也是类似，只是每个微分算子的kernel不一样，变成要很小心。 不过基本上 L^-1 AAA = BBB 的意思，是L(BBB)=AAA，且所有的解还可以差一个ker L里的东西。 由这个观点可以很仔细地来验证公式1~4。 其中1.2.太无聊了，3.已经预告过有问题，所以我们先验证4. 公式： 1. L(X,D)¯f+g = L(X,D)¯f + L(X,D)¯g 2. L(X,D)¯cf = cL(X,D)¯f 3.(!) L(X,D)¯xf = xL(X,D)¯f - L(X,D)¯L'(X,D)L(X,D)¯f 其中 L'(X,D) = p_n(x)nD^(n-1) + ... + p_2(x)2D + p_1(x)I， 是 L(X,D) 形式上对 D 的偏导函数。 4. L(X,D)¯e^(bx)f = e^(bx)L(X,D+bI)¯f pf of 4. 首先验证 L(X,D) exp(bx) g = exp(bx) L(X,D+b) g for all g i) 右<=左：若 L(X,D+b)g = f，则 exp(bx) f = L(X,D) exp(bx) g ii) 左<=右：若 L(X,D) g = exp(bx) f 则 L(X, D+b) exp(-bx) g = f 这里用到乘exp(bx) 可逆，故右边的解空间乘exp(bx)後和左边是互相包含而相等。 pf of 3. 首先验证 L(X,D)(xg) = x L(X,D)g + L'(X,D)g for all g 然後用g用L(X,D)^-1f带入(或令 L(X,D)g=f)，移项即得。 但是这时有一个很微妙的地方： 如果写成 3' L(X,D)-1 xf = {X - L(X,D)^-1L'(X,D)}L(X,D)^-1 f 就完全没问题 事实上： 3'的意思是 i) 若L(X,D)g=f，则 xf = {L(X,D)X - L'(X,D)}g = L(X,D)(xg) - L'(X,D)g ii) 两边都可差一个ker L(X,D)的元素 可是3'里面{}这个算子并不好处理，连本来常系数的算子都不再是常系数了，所以 很自然会想把它拆开。但是拆开就出问题了 从上面的推导可以看到 3的右边，x[L(X,D)^-1 f]-L(X,D)^-1 L'(X,D)[L(X,D)^-1 f] 要满足作用L(X,D)以後是xf 必须要两个[]内取相同的元素g。 若两个[]分别取 g+g0, g (g0 in ker L(X,D))，那麽作用L(X,D)後，会多出 L(X,D)(xg0) = x L(X,D)g0 + L'(X,D)g0 = L'(X,D)g0 这一项 由於在我们的题目里面，L(X,D)^-1没有自然的取法(*)，加上後面两边又各显神通 根本无法保证相等了。 (*) 那些"会对"的情形，譬如f是指数、三角函数又不在L的generalized kernel space中 就是有自然的取法 我们来看看这些错解 错误示范1: : 前面提到容易出状况的类型：#1X3H7Xj3 (Math) : 就以这篇文章的方程式作为例子。 : y''' - 3y' + 2y = x*e^x : 用算子改写成 (D^3-3D+2)y=x*e^x（略去 I）， : 所以一个特解就是 (D^3-3D+2)¯x*e^x : 很多人因为看到有个 x 乘在那边，就想说直接套用公式。 : (D^3-3D+2)¯x*e^x : = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x 交换一下顺序 : = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(D^3-3D+2)¯(3D^2-3)e^x 然後因式分解 : = x*((D-1)^2*(D+2))¯e^x - 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 约掉一个 D-1 : = x^3*e^x/6 - 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x 停在这里，我们看到第一个L^-1f 我们算的是 x^2e^x/6 : = x^3*e^x/6 - 3(x^3/6)(1/9)2e^x 第二项算出来 L^-1 L' L^-1 f是 x^3e^x/9 可是 L(x^3e^x/9) = 2xe^x - 2e^x/3 =/= L'(x^2e^x/6) = 2xe^x + 2e^x 差了若干倍的e^x，问题出在哪呢？ 如果我们让第二个 L^-1 f 和第一个L^-1 f 差 x e^x和e^x的组合，就可以补齐差额。 : = x^3*e^x/18 : 但代回方程式就知道这不是特解，难道是公式有错吗？ 由此可见，这个错误早在带入公式3.後无法控制两个L^-1 f相等时就已经注定了。 後面的算法虽然看似处处危机(?)，但还是把第二项合理的算出来了。 原Po还提供了2个其他的错误示范，但是我认为都是在第二项的算法下调整，而且这些 第二项虽然都不一样，但要命的是都是对的(只要改变L^-1 f的取法) 错误示范2: : 另外有人可能在 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 这个步骤用了不一样的做法。 : 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x : = [2/3*(D-1)^-3 - 1/9*(D-1)^-2 + 1/9*(D+2)^-2]e^x : = (2/3*x^3/6 - 1/9*x^2/2 + 1/9*1/9)e^x : = (x^3/9 - x^2/18 + 1/81)e^x : 然後算出特解 (x^3/18 + x^2/18 - 1/81)e^x …… : 怎麽还是怪怪的？ : 在看约分的问题前，交换顺序其实就已经出了问题。 错误示范3: : 现在已经确定交换顺序是有问题的步骤， : 可是部份分式在不交换的前提下其实也算得不正确。 : 马上说明一下： : 回到交换顺序前 : (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x : = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1)(D-1) * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 e^x : = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x : 在上面这一步，约掉了 D-1，因为 (D-1)(D-1)^-1 = 1。 : = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1+2) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x : = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x : + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 6 * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x : = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 3e^x : + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 6e^x : = (D-1)^-2 * (D+2)^-2 3e^x + (D-1)^-3 * (D+2)^-2 6e^x : 上面用到 #1X3xzIfg (Math) 中提到的逆运算子交换性。 : = (D-1)^-2 e^x/3 + (D-1)^-3 2e^x/3 : = x^2*e^x/6 + x^3*e^x/9 : 这次得到的特解是 x^3*e^x/18 - x^2*e^x/6，还是不对。 另外提出一点 即使计算都没有问题，用了公式3之後，变成要算L^-1L'L^-1，相当於要反解两次L^-1，真的是何苦来哉 真的会比直接反解快吗... -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

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