这几天稍微对 ODE 特解的逆运算子法花了点时间。 读书时代我也是从未使用过的人， 最近回了两篇文章，爬完文才发现困扰大家的问题一直都差不多。 基於逆运算子的常用范围，本文只针对两类算子：D-aI、XD-aI。 x 其中 D-aI = e^(ax)∫dx e^(-ax) 也常写作 D-a， x 而 XD-aI = x^a∫dx x^(-a) 也常写作 xD-a。 在本文中 D¯就是 D 的逆运算子 D^(-1) 的意思。 逆运算子在使用上最常出现的问题就是 D¯D 其实不是 I。 根据微积分基本定理，把一连续函数求反导函数後再求导函数就会等於该连续函数， 用算子符号来写就是 DD¯= I。 而微积分定理还有另一半：∫f'(x)dx = f(x)+c。 这条式子对於逆运算子来说很不好用，我仍然希望 D¯能保有线性等特徵， 我使用 D¯的目的只是找到一个「特解」，+c 以後的是通解。 所以有时为了我自私的便利性，强求 ∫f'(x)dx = f(x)，也就是 D¯D = I。 而这就是一场灾难，因为这相当於限制了积分下限。 对於多项式函数来说我爱用的下限是 0、 而指数成长型函数的下限是 -∞、 指数衰减型函数的下限是 ∞、 对数函数的下限一般是 ∞。 这太不统一了，所以只好接受 D¯D ≠I 并把这件事放在心上。 （偶尔偷偷用就好，在不影响求解的情况下。） 一般来说一个 ODE 可以写成 L(X,D)y = f。 D = d/dx 是一阶微分算子，而 X 则是「乘以 x」这个运算的算子。 限制在有限阶的时候，就要求 L(X,D) 对 D 的 degree 是有限的（至少要是 1）。 明确一点写出来的话，L(X,D) = p_n(x)D^n + ... + p_1(x)D + p_0(x)I。 公式： 1. L(X,D)¯f+g = L(X,D)¯f + L(X,D)¯g 2. L(X,D)¯cf = cL(X,D)¯f 3. L(X,D)¯xf = xL(X,D)¯f - L(X,D)¯L'(X,D)L(X,D)¯f 其中 L'(X,D) = p_n(x)nD^(n-1) + ... + p_2(x)2D + p_1(x)I， 是 L(X,D) 形式上对 D 的偏导函数。 4. L(X,D)¯e^(bx)f = e^(bx)L(X,D+bI)¯f 最後这两条相当於特殊情况的分部积分(IBP)公式，与微分的莱布尼兹法则对应。 而黄字部份的第三条是最容易出错的式子。 D-aI： 这类型算是最重要的，对应到常系数的有限阶 ODE。 ODE 可以写成 L(D)y = f，其中 L 是一个一次以上的多项式。 根据代数基本定理，L 可以分解成一堆一次因式的乘积， 所以只要每次都移项一个一次因式到等号右边，就可以解出特解。 常用公式： 1. (D-aI)¯e^(bx) = e^(bx)/(b-a), b≠a 2. (D-aI)¯x^n*e^(ax) = x^(n+1)*e^(ax)/(n+1), n≠-1 (除了-1以外的复数) 3. (D-aI)¯e^(ax)/x = e^(ax)*ln(x) 4. (D-aI)¯cos(bx) = ( -a*cos(bx)+b*sin(bx) )/(a^2+b^2) 5. (D-aI)¯sin(bx) = ( -b*cos(bx)-a*sin(bx) )/(a^2+b^2) 6. (D^2+cD+dI)¯cos(bx) = (-b^2+cD+dI)¯cos(bx) 这条对 sin 也适用，不在意虚实问题的话，直接把 D 用 ib、-ib 取代也可以。 XD-aI： 这种算子对应的 ODE 是 Cauchy–Euler equation。 与 D-aI 的情形相同，a 也可以是复数， 所以可能会出现类似 x^i = cos(ln(x))+isin(ln(x)) 这种稍显吓人的东西。 这型的常用公式就没有那麽多了，因为多数情况的积分没有漂亮公式。 大部份有漂亮式子的情况都是 n 为非正整数的时候。 前面提到容易出状况的类型：#1X3H7Xj3 (Math) 就以这篇文章的方程式作为例子。 y''' - 3y' + 2y = x*e^x 用算子改写成 (D^3-3D+2)y=x*e^x（略去 I）， 所以一个特解就是 (D^3-3D+2)¯x*e^x 很多人因为看到有个 x 乘在那边，就想说直接套用公式。 (D^3-3D+2)¯x*e^x = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x 交换一下顺序 = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(D^3-3D+2)¯(3D^2-3)e^x 然後因式分解 = x*((D-1)^2*(D+2))¯e^x - 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 约掉一个 D-1 = x^3*e^x/6 - 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x = x^3*e^x/6 - 3(x^3/6)(1/9)2e^x = x^3*e^x/18 但代回方程式就知道这不是特解，难道是公式有错吗？ 另外有人可能在 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 这个步骤用了不一样的做法。 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x = [2/3*(D-1)^-3 - 1/9*(D-1)^-2 + 1/9*(D+2)^-2]e^x = (2/3*x^3/6 - 1/9*x^2/2 + 1/9*1/9)e^x = (x^3/9 - x^2/18 + 1/81)e^x 然後算出特解 (x^3/18 + x^2/18 - 1/81)e^x …… 怎麽还是怪怪的？ 在看约分的问题前，交换顺序其实就已经出了问题。 本文在很前面就提过 D¯D≠I＝DD¯了。 算子的顺序是不可以随便交换的。 当然 D 的多项式彼此可以交换、XD 的多项式彼此也可以交换， 但是 L(D)¯和 D 的多项式虽然不至於到「什麽时候都」不能交换， 却也得看後面那个「被运算的函数」的脸色。 例如 D¯Dx = D¯1 = x，这时候 D¯D 与 DD¯的作用别无二致。 可是 D¯D1 = D¯0 = 0，这时候就不一样了。 问题是出在「L(X,D) 的 kernel/null space/zero space」上。 现在已经确定交换顺序是有问题的步骤， 可是部份分式在不交换的前提下其实也算得不正确。 马上说明一下： 回到交换顺序前 (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1)(D-1) * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 e^x = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x 在上面这一步，约掉了 D-1，因为 (D-1)(D-1)^-1 = 1。 = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1+2) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 6 * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 3e^x + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 6e^x = (D-1)^-2 * (D+2)^-2 3e^x + (D-1)^-3 * (D+2)^-2 6e^x 上面用到 #1X3xzIfg (Math) 中提到的逆运算子交换性。 = (D-1)^-2 e^x/3 + (D-1)^-3 2e^x/3 = x^2*e^x/6 + x^3*e^x/9 这次得到的特解是 x^3*e^x/18 - x^2*e^x/6，还是不对。 而且怎麽三次算起来都不一样！？ 这问题还是得回到最初的老问题上：∫f'(x)dx = f(x)+c 或许有人会有异议：明明我有在注意，而且特解的 x*e^x、e^x 两项我也的确不在意。 这个问题是上面的三种过程中，都出现了 (D-1)^-3。 (D-1)^3 的 kernel 里可不只有 x*e^x、e^x，还有 x^2*e^x。 这也难怪三种过程不只答案不一样，还会有错了。 因为在运算 (D-1)^-3 e^x 的时候， 谨慎一点来说，应该要得到 (x^3/6 + ax^2 + bx + c)e^x， 就算不看 (bx + c)e^x，但 ax^2*e^x 是不可省略的。 这个 a 就是个待定常数。 决定 a 的方法就是把解代回原方程式算一遍。 所以就算有小心交换顺序，我都不推荐约分、部份分式等做法。 因为到头来还是要有个常数待定。 其实一般情况下是不用这麽小心的，但是 kernel 真的很麻烦， 所以在用 L(D)^(-1) xf 的时候真的要很谨慎。 这正是逆运算子法最「误人子弟」之所在。 真的还是想用逆运算子怎麽办？ 最安全的做法就是我在 #1X3H7Xj3 (Math) 写的， 和 #1X2bPPpN (Math) 这篇推文中 max93765 写到的方法。 仔细一点看就会发现都没有用到 (D-1)^-3 或 D^-3，所以很安全。 -- 懒人包： ODE L(D)y = f 的 L(D) 里面，如果 D-a 的次数只有 n 次， 在算 L(D)^(-1) f 的过程中，就不准出现 (D-a)^(-n-1)。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1629207114.A.CD4.html ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 08/17/2021 22:01:40 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 08/18/2021 20:35:28