作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [其他] 逆运算求特解
时间Fri Aug 6 18:41:34 2021
※ 引述《Yic0197 (科科科55)》之铭言：
: 用逆运算子和答案少一项？
: 其他方法和解答一样
: 想知道是因为在用逆运算子的时候不能分子分母对消？还是其他原因 谢谢
: https://i.imgur.com/Xwbm1s9.jpg
那条式子是这样来的：
L(D)(xf) = x
L(D)f + L'(D)f
然後把 f 用 L(D)\V 换掉，变成
L(D)(x[L(D)\V]) = xV + L'(D)[L(D)\V]
最後再整条式子都用 L(D) 左除
x[L(D)\V] = L(D)\(xV) + L(D)\L'(D)[L(D)\V]
移项完才得到
L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]
一般情况下，因为 分母的 L(D) 与分子的 L'(D) 是可交换的，
所以我们并不在意顺序，将最後一项写作 L(D)^2\L'(D)V。
但这个写法现在显然有问题，因为此刻 L'(D)V = 0。
那我们大概也不能随便乱约分了？这个问题晚点说明。
逆运算子法在某程度上是有点乱来的计算方式，所以有些规则会更严格。
例如运算的顺序。
L(D)\L'(D)[L(D)\e^x]
= L(D)\L'(D)(x^2*e^x)/6
= L(D)\[(2x+1)e^x]
= 2L(D)\(xe^x) + (x^2*e^x)/2
= 2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/2
代回 L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]
得到 L(D)\(xV) = (x^3*e^x)/6 - ( 2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/6 )
所以 (D^3-3D+2)\(xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18
一般来说，这时候大概会抗议：
「可是V先积分再微分会变回V，这是微积分基本定理诶！为什麽不能约分啊？」
所以可以约分，但可以约分不代表可以交换。
被约掉的 D-1 在 L(D)\L'(D)[
L(D)\e^x] 里面蓝色的那边。
所以在 D+1 运算上去之前，一定要先运算一次 (D-1)^-1。
这已经是最低限度的妥协了。
在函数空间的其他地方，交换性通常都没有问题，
但一扯到 多项式*e^x，那 (D-1)^-1 的顺序就不能乱放了。
为了发新文章才发现即使有小心顺序也还是不行。
最大的问题在於操作三次同一个逆运算，这已经超过原本容许范围了。
多的那一次会造成一项系数待定项。
（如果多两次就会有两项，以此类推。）
另外，这题除了部份分式的做法，也比较适合这样做：
(D-1)^2\
[(D+2)\xe^x]
黄色部份可以直接用你喜欢的这条公式。
後面的计算也只是逆运算子的基本公式。
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1F：→ wohtp : 逆运算子是什麽时候流行起来的啊？我学微积分的时候 08/10 13:02
2F：→ wohtp : 都没有在教。 08/10 13:03
3F：→ wohtp : 我也不相信现在教的时候会把定义域的问题说清楚，这 08/10 13:08
4F：→ wohtp : 样不会教坏小孩吗...？ 08/10 13:08
5F：→ Vulpix : 我觉得会教坏小孩XDDD 08/10 14:46
6F：→ Vulpix : 好像主要是流行在那些考研究所的补习班内。 08/10 14:47
7F：→ Vulpix : 逆运算子在找特解的速度上常常会比积分快，特别是那 08/10 14:50
8F：→ Vulpix : 一堆烦死人的分部积分。那些升学取向的补习班一定不 08/10 14:51
9F：→ Vulpix : 会把定义域的问题说清楚，这毋庸置疑。 08/10 14:55
10F：→ Vulpix : 话说，你不会觉得亲切吗？(-p^2+ω^2)\ψ什麽的。 08/11 14:42
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 08/18/2021 20:30:05