※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言： : ※ 引述《Refauth (山丘上的长号手)》之铭言： : : 半夜想这题睡不着...QQ 看到第一题我直接想到一个奇怪的东西.... : : 3/10 x 1 + : : 7/10 x 3/9 x 2 + : : 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0 : : =？ 原文推文我有写到，这个倒着算就好。 我们对这类四则运算的做法，一直都很类似综合除法。 : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 + : : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 这两排算式，前面有一堆相同项，所以就先提出来之後剩下 21/4 + 8/4 = 29/4。 再乘以 2/5，然後加上 18/5 + 5，得到 65/10 + 5 = 23/2。 再乘以 4/7 * 3/6，然後加上 12/7，得到 35/7 = 5。 再乘以 5/8，然後加上 9/8，得到 34/8 = 17/4。 再乘以 6/9，然後加上 6/9，得到 21/6 = 7/2。 再乘以 7/10，然後加上 3/10，得到 55/20 = 11/4。 如果列出来是那样，那这就是最有效率的计算方式。 : : ......这算完我就自爆了这什麽东西？ : 如果我们定义 X 为问题 (1)中的取得第一个红球所需要的球数 : 8 : 你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x 再计算期望值。 : x=1 : Pr(X=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其实算得出closed-form solution : 只是过程应该不是很舒服 也没有那麽不舒服XD E[X] = Σ_{x=1}^8 (10-x)(9-x)/240 * [8-(8-x)] = Σ_{x=1}^8 (10-x)(9-x)/30 - (10-x)(9-x)(8-x)/240 = Σ_{x=1}^8 C(10-x,2)/15 - C(10-x,3)/40 = [ C(2,2)+C(3,2)+...+C(9,2) ]/15 - [ C(3,3)+C(4,3)+...+C(9,3) ]/40 = C(10,3)/15 - C(10,4)/40 = 8 - 21/4 = 11/4 多项式的 sum 通常应该换成 C 来算，而不是用高中背的 Σk^2 那一类。 : 不过呢，这题目问的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 来处理 : 也就是：给定随机变数 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 则 E[Z] = E[X] + E[Y] : (但这高中有教吗？) 好像有点尴尬，因为有些性质不用这个会累死。 常见的题型有甲乙丙三人打靶命中率各为 p, q, r，且各人表现不影响彼此的准度， 然後问三人对同一靶各射击一发後靶台报靶的期望值。 甚至有时还要算标准差/变异数，那更疯狂了XD 但是有这个性质就可以安心许多。 --

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