作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: [中学] 一题期望值问题
时间Sat Jul 17 15:02:33 2021
※ 引述《yizihappyQ (Ms.Q)》之铭言：
: https://i.imgur.com/J4qD0k0.jpg
: 请问这题的期望值如果要用列式的话要怎麽计算呢？谢谢
松鼠总数量为n，其中m只被标记。
那麽 Pr(捕获c只里面有i只标记) = C(m,i)C(n-m,c-i)/C(n,c) , i<= min(m,c)
0 , otherwise
所以期望值会是
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
i=0
然後要算出这个你需要一个结论：
For all m<=n and c<=n,
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) = C(n,c)
i=0
这个你可以从多项式 (1+x)^n 来看
(1+x)^n = (1+x)^m (1+x)^(n-m)
左边多项式的 c次项系数为 C(n,m)
k = min(m,c)
右边多项式的 c次项系数则是 Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) = C(n,m)
i=0
好了，让我们回到原来问题
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
i=0
k
= m/C(n,c) Σ C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
i=1
令 j = i-1,
k
m/C(n,c) Σ C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
i=1
k-1
= m/C(n,c) Σ C(m-1, j) * C(n-m,c-1-j)
j=0
= m/C(n,c) * C(n-1, c-1) (因为 m-1 <= n-1, c-1<= n-1, k-1 = min(c-1,m-1),
所以可以引用上面那个结论)
= m/n *c
= p *c
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异端分子请不要再说了
https://i.imgur.com/KhOj7Xe.jpg
https://i.imgur.com/AGyPCch.jpg
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※ 编辑: arrenwu (98.45.135.233 美国), 07/17/2021 15:06:55
1F：推 yizihappyQ : 谢谢！！ 07/24 10:56