作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [分析] 一题power series收敛
时间Sat May 29 16:10:39 2021
※ 引述《kevinyin9 (kevinyin)》之铭言：
: 大家好
: 请问这题是用夹挤定理吗 或是有别的解法吗
: https://i.imgur.com/VPQwlZt.jpg
: 谢谢各位
(操作错误, 又不能删文, 只好删内容.)
※ 编辑: yhliu (118.170.86.129 台湾), 05/29/2021 16:19:01
1F：→ musicbox810 : 板规让y大很尴尬XD 05/29 16:42
似乎解决了...
r = 1 时,
Σ{n=0～∞} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
= Σ{n=0～∞} Σ{k=0～n} {1/[(k+1)(k+2)] - 1/[(k+2)(k+3)]}
= Σ{n=0～∞} {1/(1．2) - 1/[(n+2)(n+3)]}
发散.
r ≠ 1 时,
Σ{n=0～N} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
= Σ{k=0～N} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} Σ{n=k～N} r^(-n)
= Σ{k=0～N} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(k)-1/r^(N+1)]/(1-1/r)
= Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1-1/r^(N-k+1)]/(1-1/r)
= Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]}/(1-1/r)
- Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]/(1-1/r)
第一部分当 N→∞ 时收敛.
第二部分当 N→∞ 时,
0< r < 1 则
Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]
> Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]}/(N+1) ．Σ{k=0～N} r^k/r^(N+1)
发散;
r > 1 则
Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]
< (1/6) Σ{k=0～N} r^k/r^(N+1) = (1/6)[1/r^(N+1)-1]/(1-r)
收敛;
故, 原级数收敛范围为 r > 1.
又, r > 1 时得
Σ{n=0～∞} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
= Σ{k=0～∞} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} Σ{n=k～∞} r^(-n)
= Σ{k=0～∞} [r/(r-1)]/[(k+1)(k+2)(k+3)]}
= r/[4(r-1)]
※ 编辑: yhliu (118.170.86.129 台湾), 05/29/2021 18:42:55