作者cheesesteak (牛排‧起司)
看板Math
标题Re: [其他] 求极值
时间Mon Apr 19 01:53:00 2021
※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之铭言：
: 若 y大於等於0 且 小於等於1 ,而t>0是个常数
: 而x大於等於0且小於等於 1/根号(1+t^2)
: 则在 x^2+y^2-xy+x^2*t^2=1 这个条件下
: 试求1-xy的极大值极小值
: 有考虑用到对x,y偏微分,或是拉格朗日乘数但似乎有点用不太出来
: 请大家指点迷津~~thx~~
0 <= y <= 1, 0 <= x<= 1/sqrt(1+t^2), t为>0之常数
1-xy的极大值明显为1 (xy极小值为0)
问题在於求xy的极大值
xy = (t^2+1)x^2 + y^2 -1
>= 2*sqrt(t^2+1)*x*y - 1 by 算几不等式
[2sqrt(t^2+1) - 1] xy <= 1
xy <= 1/[2sqrt(t^2+1) - 1] 接着检视等号成立条件
此时 (t^2+1)x^2 = y^2 --> y = sqrt(t^2+1)*x
sqrt(t^2+1)*x^2 = 2(t^2+1)x^2 - 1
x^2 = 1/[2(t^2+1) - sqrt(t^2+1)]
由题目 0 <= x^2 <= 1/(1+t^2) 仍在范围内
此时y^2 = (t^2+1)/[2(t^2+1) - sqrt(t^2+1)]
= 1/[2-1/sqrt(t^+1)] < 1 符合题目y之范围
故 xy 极大值为 1/[2sqrt(t^2+1) - 1]
代入1-xy可得极小值
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※ 编辑: cheesesteak (106.1.249.63 台湾), 04/19/2021 01:56:58