作者cheesesteak (牛排‧起司)
看板Math
标题Re: [代数] 请教一题指数比大小
时间Wed Apr 14 04:43:00 2021
※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之铭言：
: X=3^100
: Y=50!
: 比较x，Y大小？
: 请大大们指点一下，谢谢
X=9^50, Y=50!
大概可以感觉出来Y>>X, 想办法凑出不等式即可 (Y>>X 应该很好凑)
Y/X > (18!*18^32)/(9^18*9^32)
= (18!/9^18)*2^32 2^32 = (1024)^3.2 > 1000^3
> (18!/9^18)*10^9
= (10/9)*(20/9)*...*(90/9)*(10/9)*...*(18/9) > 1
可得 Y>X
如果有工程计算机 利用Stirling's approximation可以轻易算出阶乘近似值
ln(x!) ~ xlnx - x + ln(sqrt(2pi*x))
(通常不用算ln(sqrt(2pi*x))就可以比大小了)
ln(50!) ~ 50*ln(50) - 50 + ln(sqrt(100pi)) = 148.5
ln(3^100) = 100*ln(3) = 109.9 便可知 50! > 3^100
(50!~e^148.5=3.11E64, 精确值为3.04E64, 3^100=5.15E47)
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※ 编辑: cheesesteak (106.1.249.63 台湾), 04/14/2021 04:51:31
1F：推 rfvbgtsport : 谢谢大大 04/14 21:59