※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之铭言： : 一时想不到要怎麽算 : 所以直接贴上来问大家 : 连续投掷一枚公正硬币，直到最近连续五次的结果中，有四次以上是正面时结束 : 请问需要的投掷次数期望值为多少？ : 补充一下 如果一开始连续四次都正面也算结束 : 或是如果要投到第五次的算式会比较简洁的话那就当作那样 : 只是想了解解题的过程 : 再麻烦解说一下了 谢谢 原本想到的是以最近四次结果当状态的马可夫链, 但 16 个状态不能算简洁 然後想到要结束这最近五次里只能有一次反面 那似乎可以用投出反面当断点做状态 考虑在这个反面之後连出正面要多少个才能结束做分类, 这样就只要四类 把转移期望值关系写出来就是 E4 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/8)(E2+3) + (1/16)(E1+4) + (1/16)(4) E3 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/8)(E2+3) + (1/8)(3) E2 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/4)(2) E1 = (1/2)(E4+1) + (1/2)(1) 解释一下 E4 这一条 (其他类推): 在还要连出四正面的状况时 (例如一开始或在连二反面之後) 1/2 投出反面, 仍然还要再连四正面, 计 E4+1 投 1/4 投出先正後反, 这时只要再连三正面即可, 计 E3+2 投 1/8 投出正正反, 只要再连二正面, 计 E2+3 投 1/16 投出正正正反, 只要再一个正面, 计 E1+4 投 1/16 投出正正正正, 到此结束, 计 4 投 所以期望值 E4 就是这样加起来 这个联立方程看起来有点整齐但好像没有好算一点的解法, 我直接硬解的结果是 E4 = 2122/137 ←这是你的所求, 约是 15.489 E3 = 2030/137 E2 = 1774/137 E1 = 1198/137 分母这麽囧是因为系数行列式值是 137/1024, 我猜应该很难不正面冲撞它 @@ ==== 类似的作法应该只能推广到最近 N 投要 N-1 正面 不然状态没办法切得这麽乾净 -- 有人喜欢边玩游戏边上逼； 也有人喜欢边听歌边打字。 但是，我有个请求， 选字的时候请专心好吗？ -- 改编自「古 火田 任三郎」之开场白 --

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