作者LPH66 ( )
看板Math
标题Re: [中学] 三角形的函数范围
时间Fri Mar 26 01:08:08 2021
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言：
: 请教一题：
: 三角形ABC中，
: 令k=cos(2A)+2cosB+2cosC，试求k的范围。
:
因 B C 是对称的, 先来考虑固定 A 求 B, C 如何取才能最大
由於固定 A, B+C = π-A 也是固定的
而由和差化积知 cosB + cosC = 2 cos((B+C)/2) cos((B-C)/2)
因为 B+C = π-A < π, (B+C)/2 < π/2, 所以 cos((B+C)/2) 是正的
因此 cosB + cosC 的最大最小值与 cos((B-C)/2) 的最大最小值同步
====
最大值
由上知固定 A 的话, (B-C)/2 = 0 即 B = C 时可得最大值
代入 A = π-2B 的话可得
k = cos(2π-4B) + 4cosB = cos4B + 4cosB
倍角公式展开再令 u = cosB 得 k = 8u^4 - 8u^2 + 4u + 1
因为 0 ≦ u^2 ≦ 1 所以 8u^4 - 8u^2 = 8u^2 (u^2 - 1) ≦ 0
也就是在这范围内 k ≦ 4u+1 ≦ 5
右边不等号在 u = 1 取相等, 而此时左边不等号也有相等 (8u^4 - 8u^2 = 0)
故 u = 1 时的 k = 5 确为极大值
但 u = 1 表示 cosB = 1 即 B (= C) = 0, 这是退化三角形
所以可知实际上界是 k < 5
(这里的四次式直接求极值有点麻烦, 是可以用一点基本微积分硬上啦但...
这个做法是看到 8u^4 - 8u^2 这一块, 加上函数图形参考才有的:
https://i.imgur.com/ZKnt7Nt.png 蓝线是这四次式, 红线是 4u+1)
====
最小值
同样固定 A 的话, B 和 C 差越多值越小 (因为是三角形所以不会差到超过π)
因此最小的状况是 C = 0 (所以也是退化三角形), 於是 A+B = π
代入原式, 一样倍角公式展开後换成 u = cosB 得 k = 2u^2 + 2u + 1
求极值的过程略; 最小值出现在 u = -1/2 的时候, 此时 k = 1/2
u = -1/2 表示 cosB = -1/2, 即 B = 2π/3, A = π/3
同样由於这是退化情形, 因此可知实际下界为 k > 1/2
====
综上, 所求范围为 1/2 < k < 5
--
将很小又单纯的
命令《Code》组合成
函数《Function》。函数累积成更大更方便的
元件《
Parts》，成为
程式《App》。接着进行动态结合，相互通讯，打造出
服务《Service》。
李奥纳多知道，要得到结果，就必须持续进行非常单纯的作业。
为了展现出匹敌巨大建筑
的技术，现在非得将面前的碎片组合起来。
知道这条路多麽遥远的人，叫做
极客《Geek》。
将这份尊贵具体呈现的人，叫做
骇客《Hacker》。 －－记录的地平线 Vol.9 p.299
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 180.177.0.237 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1616692090.A.BDA.html
1F：→ yyc2008 : 请问LP大 cosB + cosC 的最大最小值与 cos((B-C)/2) 03/26 01:22
2F：→ yyc2008 : 最大最小同步 可以解释一下吗? 03/26 01:22
3F：推 TOMOHISA : 因为固定A了，感谢L大详细解答 03/26 08:51
4F：→ yyc2008 : 固定A 可是有(B+C)/2跟(B-C)/2 为什麽最後由(B-C)/2 03/27 00:09
5F：→ yyc2008 : 决定呢? 03/27 00:09
6F：→ LPH66 : 因为这是三角形, 固定 A 表示 π-A = B+C 固定 03/27 19:45
7F：→ LPH66 : 所以 cos((B+C)/2) 是个正的常数 03/27 19:46
8F：→ LPH66 : 因此 cos((B-C)/2) 越大乘积就越大 03/27 19:46
※ 编辑: LPH66 (180.177.0.237 台湾), 03/27/2021 20:55:41
9F：推 yyc2008 : 谢谢LPH大，我看懂了 03/29 03:06