作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题Re: [中学] 关於不等式问题
时间Wed Mar 10 19:58:36 2021
※ 引述《csy0504 (csy)》之铭言：
: 各位大师好，
: 想请教一题不等式问题，看了题目很像不难却不知从何下手，只能po上来跟各位求救了~~~感谢~~~
: http://i.imgur.com/ts3yAdh.jpg
: （上面写的答案不一定是正确答案）
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: Sent from JPTT on my Google Pixel 3a XL.
(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) ... by 乘法公式
所以 2(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)
= (x+y+z)^2 - 6(x+y+z) ... by 本题限制式
= ( (x+y+z) - 3 )^2 - 9
故当 x+y+z=3 (很难算但必定存在) 时有最小值 -9/2.
要说明必定存在，可以试着把 x 和 y 用 z 去表示，也就是
(1) x + y = 3 - z
(2) x^2 + y^2 = 18 - z^2
由上面两式可以推得 xy = [(3-z)^2 - (18-z^2)]/2 = (2z^2-6z-9) / 2，
故 x 和 y 必定为 t^2 + (z-3)t + (2z^2-6z-9)/2 = 0 的两根，根据公式解
为 2t = (3-z) +/- \sqrt((z-3)^2-2(2z^2-6z-9)) = 3-z +/- \sqrt(-3z^2+6z+27)
2t = 3-z +/- \sqrt(-3(z-1)^2 + 30)
让 z=1，那麽 2t = 2 +/- \sqrt(30)，所以此时 x = 1 + \sqrt(7.5)
y = 1 - \sqrt(7.5).
确定是一组解。
题外话，看到上面的解法才发现可以稍微用猜的，先假设 x = y = z = 1，再动态调整
让 x = 1 + d，y = 1 - d，那麽 x^2 + y^2 = 2(1+d^2) = 17，也能得到 d=\sqrt(7.5)
要找最大值，可知要尽量让 x+y+z 远离 3，那麽如何得知 x+y+z 的上限？
根据柯西不等式：
(x^2+y^2+z^2) * (1^2+1^2+1^2) >= (x+y+z)^2
6(x+y+z) * 3 >= (x+y+z)^2 ... by 本题限制式
0 >= (x+y+z)^2 - 18(x+y+z)
81 >= (x+y+z-9)^2
由此可知 x+y+z 只能落在 0 到 18 之间，最远离 3 的话只能挑 18，
很刚好地此时 x = y = z = 6 也是有解的，最大值便为 108。
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1F：→ Poincare : 要完整解答的话可能必须解释 “很难算但必定存在” 03/11 02:22
2F：→ cmrafsts : 就球面和平面的交点 03/11 05:17
3F：→ alan23273850: 我那时是在想说可以先设成 (4,-1,0) 再去动态调整 03/11 10:19
4F：→ alan23273850: 後来发现调不出来 XDXD 03/11 10:19
5F：→ alan23273850: 回二楼，检查原点到平面距离是否超过球面半径即可. 03/11 10:21
6F：→ alan23273850: 再不来就是去解 x+y=3-z, x^2+y^2=18-z^2，看能不 03/11 10:26
7F：→ alan23273850: 能都用z去表示，这样只要调整z让x,y都合法也行。 03/11 10:26
8F：→ alan23273850: 补充！上面可以得到 xy 的表示式，这样就可以用根 03/11 10:27
9F：→ alan23273850: 与系数关系了！选我正解 03/11 10:27
※ 编辑: alan23273850 (140.109.16.166 台湾), 03/11/2021 13:25:27