※ 引述《adamchi (adamchi)》之铭言： : 2.设点D在三角形ABC的线段BC上使得线段AD为角BAC的角平分线, : 线段AD的中垂线分别交角ABC与角ACB角平分线於E.F两点.已知 : 线段AB=4,线段BC=5,线段CA=6,三角形AEF的面积为(m*n^(1/2))/p, : 其中m与p为互质的正整数,且正整数n不能被任何质数的平方整除. : 试问m+n+p之值为何? : 答:36 作 △ABD 的外接圆, 则: i. ∠ABD 的角平分线平分弧 AD ii. AD 为弦, 故中垂线也平分弧 AD 因此 i. 和 ii. 和弧 AD 的交点都是同一个, 这点即是 i. 和 ii. 的交点 E 也就是 A B D E 四点共圆, 由此可得 ∠AEB = ∠ADB 对称地可证 A C D F 四点共圆, 及 ∠AFC = ∠ADC 若令 △ABC 内心为 I 则 ∠AEI + ∠AFI = ∠AEB + ∠AFC = ∠ADB + ∠ADC = 平角 故知 A E F I 四点共圆 https://i.imgur.com/AcVbg9G.png ==== 接下来要来开始算长度了: AD 长可由角平分线公式得到为 3√2 (公式见最下方注解) 而由内心性质 I 分 AD 为 AI:ID = (4+6):5 = 2:1 得 AI = 2√2, ID = √2 类似地可求得 BI = 2, CI = √14 於是由 △AIE～△BID 得 △AIE = (AI/BI)^2 △BID = 2△BID = 2(BD/BC)△BIC = 2*(4/10)*△BIC = (4/5)△BIC 由 △AIF～△CID 得 △AIF = (AI/CI)^2 △CID = (4/7)△CID = (4/7)(CD/BC)△BIC = (4/7)*(6/10)*△BIC = (12/35)△BIC 由 △FIE～△BIC 得 (☆) △FIE = (EI/CI)^2 △BIC = (2/7)△BIC 最後 △AEF = △AIE + △AIF - △FIE = (4/5 + 12/35 - 2/7)△BIC = (6/7)△BIC 而 △BIC = (5/(4+5+6))△ABC, △ABC 可由海龙公式算得为 (15/4)√7 故 △AEF = (6/7)*(5/15)*(15/4)√7 = (15/14)√7 即所求为 m = 15, n = 7, p = 14, 和为 36 # ☆这个相似是这样来的: 利用已知的三个共圆有 ∠FEI = ∠FAI (∠FAD) = ∠FCD (∠ICB) ∠EFI = ∠EAI (∠EAD) = ∠EBD (∠IBC) 所以 AA 相似 另外 EI 长可以由 △AIE～△BID 求得 EI = (AI/BI)*ID = (2√2 / 2)*√2 = 2 所以 (EI/CI)^2 = (2/√14)^2 = 4/14 = 2/7 (用这边是因为 BI 没有根号, EI 长比较好算 不然也是能求 FI 长再用 (FI/BI)^2 一样能得到 2/7) ==== 这做法中间其实跳了不少计算 例如角平分线长公式我是用维基百科上的公式: https://reurl.cc/5odaK7 然後要求的面积其实也是用凑的, 从相似三角形算面积比例硬凑出来 一下子还没看出来有没有更直接的算法 还有...关键的 ABDE ACDF 共圆这件事也是在 GGB 上发现之後才去想要怎麽证的 orz (不过有了这两个之後 AEFI 共圆相对容易看得出来) -- 1985/01/12 三嶋鸣海 1989/02/22 优希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町 つぐみ 欢迎来到 1994/05/21 高江ミュウ 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬 チサト 1998/06/18 守野くるみ 打越钢太郎的 1999/10/19 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遥 2002/12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱仓岳坠机 ∞与∫的世界 2011/04/02 茜崎空 启动 2012/05/21 第貮日蚀计画预定 2017/05/01~07 LeMU崩坏 2019/04/01~07 某大学合宿 --

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