作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [中学] 高二下 空间中有关正四面体的问题
时间Sat Feb 20 17:40:52 2021
※ 引述《tacomake ()》之铭言：
: 空间中，有一边长为6的正四面体O-ABC，其中O点为原点，
: A点坐标为(6,0,0)，若△ABC之重心G的x,y,z坐标均为正整数；
: 试求：线段BC中点M之坐标。 答：(3,3,3)
: 想法：因B,C在OA的中垂面上且OA=6
: 故设B(3,m,n),C(3,u,v)
: 6+3+3 0+m+u 0+n+v m+u n+v
: G = (-------,-------,-------) = (4,-----,-----)
: 3 3 3 3 3
: 得m+u,n+v均为3的正整数倍数
: 又OB=OC=6 可得 m^2+n^2 = u^2+v^2 = 27
: 代入 BC=6 可得 mu+nv=9
: 3+3 m+u n+v m+u n+v
: 所求M=(-----,-----,-----)=(3,-----,-----)
: 2 2 2 2 2
: 接下来就不知道怎麽处理了,请赐教,谢谢!
设G(x, y, z)
(x - 6)x + y^2 + z^2 = 0
=> (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 9
(x - 6)^2 + y^2 + z^2 = (6 (1/2)sqrt(3) (2/3))^2 = 12
=> x = 4
=> y^2 + z^2 = 8
=> y = z = 2
=> M = (6, 0, 0) + (3/2)(-2, 2, 2)
= (3, 3, 3)
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1F：推 tacomake : 用AG距离和OG为高即可解，谢谢： 02/21 01:04