在实数公理里，看到两种叙述单位元与逆元素的方式，想试得证明这两种叙 述方式是等价的，麻烦大家帮忙看一下下面的叙述是否无误。 给定一集合 X 、具封闭性、交换律、结合律的运算元 +， 及 X 内的元素 x,y,z,0，可给出下列两个等价的叙述： 一、对所有x、y，存在z，使得x+z=y。 二、存在0，使得对所有x，x+0=x，以及对所有x，存在y，使得x+y=0。 先假定「一」是正确的， 由对所有x、y，存在z，使得x+z=y，可知对所有x，存在a，使得x+a=x。 接下来，证明a与x的值无关，及其唯一性。 对所有y，所有x，存在z、a，使得y=x+z且x+a=a，可得 y+a=(x+z)+a=(z+x)+a=z+(x+a)=z+x=x+z=y (依运算元 + 的交换律与结合律) 因此，存在a，使得对所有y，y+a=y。 再来，假设存在a、a'，所得对所有x，x+a=x且x+a'=x，可得 a'+a=a'、a+a'=a，再依 + 的交换律，a'=a'+a=a+a'=a。 因此a是唯一的，并可将a写成0，变成 存在0，使得对所有x，x+0=x 最後，由对所有x、y，存在z，使得x+z=y，及存在0，使得对所有x，x+0=x， 可以简单得知对所有x，存在y，使得x+y=0。 再假定「二」是正确的， 对所有x，存在a，使得x+a=0，这对所有y，可得(x+a)+y=0+y=y， 又因运算元 + 的结合律，(x+a)+y=x+(a+y)，可得x+(a+y)=y。 因运算元 + 的封闭性，存在z，使得z=a+y。 因此，对所有x、y，存在z，使得x+z=y。 上面的叙述应该没有问题吧？ 想麻烦大家帮忙检查看看，谢谢。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.164.113.222 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1613004917.A.424.html