作者wilson53421 (雾里看熊)
看板Math
标题[线代] 想请教高手几题线代观念
时间Sat Jan 30 22:40:49 2021
https://i.imgur.com/pjp5Ex7.jpg
第一题我只看的出来H矩阵是投影矩阵，其他就不知该如何下手了。
https://i.imgur.com/0UVsRY5.jpg
第四题我想请教的是C选项，不太晓得如何判断。
https://i.imgur.com/EycP2vl.jpg
以及这边的第三题，也是不太知道如何判断。
https://i.imgur.com/xNTBFAJ.jpg
这边题号一的只要丙和丁选项，我大概有求出，但想确认一下答案。
题目出处，台大财金所乙组考古题，本人有修过线代，但当时教的和考题的考风有小落差
，自己翻网路跟讲义解了七、八成还行，剩下真的有些困扰QQ，还请高手指教。
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1F：→ forget0309 : 4.(c)A-nI=C(B-nI)C^(-1) 01/31 14:15
2F：→ forget0309 : 3.因为特徵值相异，所以存在可逆矩阵C使得CAC^(-1) 01/31 14:15
3F：→ forget0309 : 是对角矩阵 乙丙丁用4.(c)应该能做 01/31 14:15
4F：→ yhliu : 第一题 H 为幂等, 其徵值非0即1. I-H 亦幂等. 01/31 16:30
5F：→ yhliu : 第四题 A-kI = C(B-kI)C^(-1) 01/31 16:33
6F：→ yhliu : 第三题 rank(AA^T) = rank(A) = 3, 另 A^n 的徵值为 01/31 16:37
7F：→ yhliu : A 之徵值的 n 次方, 故 A 之多项式的徵值易得. 01/31 16:39
8F：→ yhliu : 令 H=A^T(AA^T)^gA "^g" 代表 generalized inverse. 01/31 16:57
9F：→ yhliu : 则 H 为 CS(A) 上之正交投影矩阵. Ax=0 iff Hx=0 且 01/31 17:00
10F：→ yhliu : 以止2列作废. 有点乱, 再想想. 01/31 17:08
11F：→ yhliu : Ax=0 iff. A^TAx=0, 故 N(A)=N(A^TA). 01/31 17:14
12F：→ yhliu : 令 CS(A^TA) 上之正交投影矩阵为 H, A^TA 为n阶方阵 01/31 17:17
13F：→ yhliu : 则对任意 x in R^n, x = Hx + (I-H)x, Hx in CS(H) 01/31 17:19
14F：→ yhliu : 即 CS(A^TA), (I-H) in N(A^TA)=N(A), 故 R^n 为 01/31 17:20
15F：→ yhliu : N(A) 与 CS(A^TA) 之和, 且两子空间垂直. 故两者互 01/31 17:22
16F：→ yhliu : 为对方之正交补空间. 01/31 17:22
17F：→ yhliu : 令 P 为 CS(A) 上的垂直投影矩陴 P=A(A^TA)^gA^T, 01/31 17:35
18F：→ yhliu : 则 A^TP = A^T (PA=A). y - A^Tx 则 y=A^TPx=A^TAz 01/31 17:37
19F：→ yhliu : 其中 z=(A^TA)^gA^T, 故 y in CS(A^TA)=RS(A^TA). 01/31 17:40
20F：→ yhliu : 反之, y in RS(A^TA) 则 y=(A^TA)x=A^T(Ax)in RS(A) 01/31 17:41
21F：→ wilson53421 : 谢谢楼上！！ 02/01 21:13