※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之铭言： : 抱歉,我把我请益的问题说得更精准更简洁一点 : 1.通解的定义是甚麽? 是所有解, 还是说带有着参数可创造其它解 : 且带入方程式等号成立的解? (我知道一般来说都是所有解) 这一题我假设你是在问最一般的状况 有时候一个方程的所有解是可以表示为带参数的公式的 这通常在这些所有 (无限多个) 解是有一定程度的关连性在 那这时我们要表达这一个系列的解就可以使用这些带参数的公式来表达 也就是说这是「把这些参数代任意值就可以得到一个原式的解」这样的感觉 而这样的公式到底是不是所有解只有回去看要求的东西是什麽才能知道 那回到你问的「通解」(general solution) 这个词 这到底代不代表「所有解」就我简单 google 了一下有用到这个词的地方来看 例如在微分方程理论里好像就不完全是指一个微分方程的「全部」解的样子 所以看起来也是看使用的地方而定 : 2.举三元一次方程式例子 : x+3y+5z=1 当然通解也很多表示法没错 包含了我举的例子 : x=3+2t+s y=1+t-2s z=1-t+s t,s属於R : 也因为算出来後带入方程式後等号成立 我们就说这是通解 : 却没去检验他是否为"所有解" 所以我才会有第1点的疑问? : 另外想知道要如何验证才是确实严谨的? : 而是否 n元一次方程式的解若带有n-1个参数 ,是否就可确定是所有解(通解?) : 3. 另外有一个小小请益 : ax+by+cz=0 : 若 v=(x1,y1,z1) u=(x2,y2,z2) 为其方程式的相异两解 : 且 v不是u的k倍 : 那麽 span{v,u}=方程式所有解??? 如何证明呢? thx~~ 这两题一起答, 这里就是我所说的一些线性代数理论能解答的部份 这里用到的理论是线性代数所谓的「解空间」 (solution space) 其中对於齐次方程 (常数为 0 的) 又特别称做「零空间」 (null space) [x] 你 3. 提到的形式是可以写成一个 1x3 矩阵 [a b c] 乘上一个 3x1 变数向量 [y] [z] 这种形式的零空间性质可以由左边的矩阵 (这里就是 [a b c]) 的性质来描述 特别地, 要用几个基底向量才能描述整个空间这个量称做这个空间的维度 (dim) 这个维度就是你在 2. 问的需要多少个参数才能完整描述一个解空间的量 而一个矩阵的零空间维度称做 nullity (零化度) 它是可以由这个矩阵出发藉由 rank-nullity theorem 求出来的 把这个定理在讲的东西讲通俗化一点就变成你最一开始提到的「自由度」的概念: 三个变数的总空间是三维, 一条式子 (矩阵一列) 用去一个自由度 (rank 1) 剩下的两个自由度即是这个矩阵的 nullity, 所以需要两个基底描述 你的最一开始的问题里那两个看起来不同的表示法 其实不过是在空间里选不同的基底造成的表示法不同罢了: {x = 1-3t-5s [x] [1] [-3] [-5] {y = t 可以表示成 [y] = [0] + [ 1] t + [ 0] s {z = s [z] [0] [ 0] [ 1] {x = 3+2t+s [x] [ 3] [ 2] [ 1] {y = 1+t-2s 可以表示成 [y] = [ 1] + [ 1] t + [-2] s {z = -1-t+s [z] [-1] [-1] [ 1] 右边的 t 和 s 的"系数"向量即是所选的空间中的基底不同而已 也就是说, 2. 的问题的答案是: 对於线性方程, 我们能用 rank-nullity theorem 保证 简化後的自由度讨论正确地给出了要求出所有解所需的参数个数 (其 nullity) 於是当取定基底之後得到的解就确实是所有解了 而 3. 的问题, 其实就只是你选择了这个维度为 2 的零空间里的两个基底 因此 span{u,v} 就给出了整个空间, 自然就是所有解了 -- 将很小又单纯的命令《Code》组合成函数《Function》。函数累积成更大更方便的元件《 Parts》，成为程式《App》。接着进行动态结合，相互通讯，打造出服务《Service》。 李奥纳多知道，要得到结果，就必须持续进行非常单纯的作业。为了展现出匹敌巨大建筑 的技术，现在非得将面前的碎片组合起来。 知道这条路多麽遥远的人，叫做极客《Geek》。 将这份尊贵具体呈现的人，叫做骇客《Hacker》。 －－记录的地平线 Vol.9 p.299 --

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