作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [其他] 离散两题
时间Tue Dec 1 16:13:04 2020
※ 引述《LiquidTLO (俊伟)》之铭言：
: 题目: https://imgur.com/a/l1PMrER
: 第一题没什想法
: 第二题我只用chebyshev导出α > 1/2时机率是1
: https://imgur.com/a/4ozRw9D
: α=1/2时，我知道(X_k-μ)/σ√n 是N(0,1)
: 然後就卡住了
: 不知道怎导α = 1/2 和 α < 1/2时的机率
α=1/2，直接使用 CLT 即可。
α<1/2，也可以透过 CLT 来做：
先随便指定一个正数 ε，然後考虑比 ε^(1/(1/2-α)) 大的 n。
P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1)
＝P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦n^(α-1/2))
≦P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦ε)
→Φ(ε)-Φ(-ε) = erf(ε/√2) as n→∞ by CLT
所以 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) ≦ 任何一个 erf(ε/√2)
也就是 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) = 0
而 liminf 也是 0，所以想算的那个极限就是 0。
至於第一题，答案是 N(0,k(k+1)(2k+1)/6)。
推理过程用到：
1. X_i/√n → 一个 N(0,i^2)，by CLT。
2. 常态分布的独立随机变数相加会得到一个常态分布的随机变数。
平均数、变异数都是那些独立随机变数的和。
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1F：→ LiquidTLO : X_i/√n → 一个 N(0,i^2) 是因为fair coin? 12/01 23:11
2F：→ LiquidTLO : σ一定是i 12/01 23:12
3F：→ Vulpix : X_i是n个白努力试验的和，除以n就会是平均。然後拿 12/01 23:34
4F：→ Vulpix : 进CLT去看。 12/01 23:35
5F：→ LiquidTLO : 我知道X_i/√n-> N(0,σ^2) 12/01 23:50
6F：→ Vulpix : 喔，我看懂你的问题了。fair就是正反面机率一样。 12/02 02:36
7F：→ Vulpix : 所以σ一定是i。 12/02 02:37
8F：推 LiquidTLO : 现在比较熟悉常态和CLT了 12/02 02:46