作者hardandhard (抵换关系-1+1)
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标题[微积] 请教 极值 Lagrange 相关问题
时间Sun Nov 1 22:08:16 2020
想请问各位高手
如附图
https://imgur.com/RyBvOQZ
我想求出最适的W* 可以使得π 得到最大值
在有限制式的情况下，我的第一个想法是用Lagrange，但是我只会单一限制式(令一个λ
然後将限制式左右相减)，在多限制下我想不出来如何解，而我采用忽略限制式的方法，
直接令π一皆微分=0，求出W* 却无法确认其范围是否合乎限制式范围(仅能确认一半范围
)。
请教各位解法
谢谢各位
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.117.21.120 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1604239700.A.C02.html
1F：→ cuylerLin : 你这不就是一个 w 的二次式而已？要怎样确认符合范 11/01 22:25
2F：→ cuylerLin : 围，两边减减看有没有符合大小关系 11/01 22:25
回覆C大谢谢C大提供的方法我的解确实不在限制式范围内
3F：→ hwanger : 不是很懂π到底是π(w)而其他α,v,r,h,c只是满足1到 11/01 22:31
4F：→ hwanger : 5的常数 还是π其实是π(α,w,v,r,h,c) 两者处理方 11/01 22:33
5F：→ hwanger : 式不太一样 而後者不是用dπ/dw来解的 冏 11/01 22:34
回覆M大，α,w,v,r,h,c皆为该函数的自变数，所以我不应该用dπ/dw
那该用什麽方法呢?谢谢
6F：推 chemmachine : 你这个是硕士论文的题目还是paper的文章？ 11/02 00:23
7F：→ chemmachine : 你的combine all 那一行计算可能有误 11/02 00:24
8F：→ chemmachine : 因为你r 和c 同号由你的r/c>0 11/02 00:25
9F：→ chemmachine : 你的h没给范围或说它是定值。 11/02 00:26
10F：推 chemmachine : 这种限制式含多个不等式的，用kkt方法可以有公式化 11/02 00:30
11F：→ chemmachine : 的解法，kkt写起来很长，我懒得写了，然後用了kkt 11/02 00:30
12F：→ chemmachine : 还必须解高维多次方程。所以必须用到数学软体。你 11/02 00:30
13F：→ chemmachine : 的这题我套到wolfram 是极大和极小都发散的，你的题 11/02 00:30
14F：→ chemmachine : 目可能条件不够。 11/02 00:30
16F：→ chemmachine : 不知道你会不会指令，我试你的式子是maxvalue和minv 11/02 00:33
17F：→ chemmachine : alue 都不存在，发散的意思 11/02 00:33
18F：→ chemmachine : 用范例改成五维，>=就是大於等於，＜=就是小於等於 11/02 00:35
19F：→ chemmachine : 。 11/02 00:35
20F：推 chemmachine : 我有测试很简单的五维是可以解答的，所以并不是回 11/02 00:36
21F：→ chemmachine : 传错误的关系，应该是极大极小真的发散 11/02 00:36
回覆M大，这是我在尝试修改paper的模型，r、c同号没有错，h的范围是 >= c
且v >= h， 请问是在wolfram 上解出多限制下的kkt吗? 谢谢回覆
※ 编辑: hardandhard (1.173.24.52 台湾), 11/02/2020 01:35:27
22F：推 chemmachine : wolfram可以解，我试过了，他解出来应该是无限大， 11/02 01:49
23F：→ chemmachine : 最小是负无限大。明天再回你，告诉你指令。wolfram 11/02 01:49
24F：→ chemmachine : 是免费网站。 11/02 01:49
25F：→ chemmachine : 理论就是kkt，这讲起来很复杂，你可以找ptt镜像网 11/02 01:49
26F：→ chemmachine : 站，我的帐号发文和推文，有四五篇讲拉格朗日差值法 11/02 01:49
27F：→ chemmachine : 的，我有讲哪里有kkt的资料。 11/02 01:49
28F：→ chemmachine : 要懂全部的理论要会拉格朗日，极值定理，海森矩阵， 11/02 01:49
29F：→ chemmachine : 不等式和等式限制式的拆解等。我自己弄懂大概三个星 11/02 01:49
30F：→ chemmachine : 期。 11/02 01:49
31F：→ hwanger : 你可以如上找一个数值软体如SciPy来解 也可以用极值 11/02 07:00
32F：→ hwanger : 定理搭Lagrange来解 令所有满足条件1到5的 11/02 07:00
33F：→ hwanger : (α,w,v,r,h,c)所成的集合为我们的domain 一般流程 11/02 07:01
34F：→ hwanger : 如下 11/02 07:01
35F：→ hwanger : 1.计算▽π=0, 先看算出来的(α,w,v,r,h,c)是否在范 11/02 07:02
36F：→ hwanger : 围内, 搜集所有符合的解成集合C. 这部份很像你原本 11/02 07:02
37F：→ hwanger : 打算做的东西, 我们就是先考虑所有在domain中 11/02 07:02
38F：→ hwanger : interior的critical points. 11/02 07:03
39F：→ hwanger : 2.从n=1到5, 任意选n条限制式g1,g2,...,gn出来算 11/02 07:03
40F：→ hwanger : Lagrange. 算法很简单, 跟一维的差不多, 就是假设 11/02 07:04
41F：→ hwanger : 存在λ1,λ2,...,λn使得 11/02 07:04
42F：→ hwanger : ▽π=λ1▽g1 +λ2▽g2 +...+ λn▽gn, 11/02 07:04
43F：→ hwanger : g1=0, g2=0,..., gn=0, 然後去解 11/02 07:05
44F：→ hwanger : (α,w,v,r,h,c,λ1,λ2,...,λn). 理论上因为是6+n 11/02 07:05
45F：→ hwanger : 条方程式解6+n个变数, 所以解出来应该是离散解. 算 11/02 07:05
46F：→ hwanger : 出来的解看有没有在范围内, 搜集所有符合的解成集合 11/02 07:06
47F：→ hwanger : C_{ni}. 这部份是把在domain的boundary上所有值得考 11/02 07:06
48F：→ hwanger : 虑的点都找出来. 11/02 07:07
49F：→ hwanger : 3.算出所有在domain可能的顶点成集合C', 这部份需要 11/02 07:10
50F：→ hwanger : 对domain的几何性质有所了解. 不过因为你只有5个限 11/02 07:11
51F：→ hwanger : 制式却有6个变数, 一般很难形成所谓的顶点. 11/02 07:11
52F：→ hwanger : 4.算出π在C,C_{ni}和C'上的所有值, 找出可能潜在的 11/02 07:12
53F：→ hwanger : 极值. 这部份白话说就是算出所有在critical points 11/02 07:13
54F：→ hwanger : 上的值来做比较. 11/02 07:13
55F：→ hwanger : 5.最重要的一步, 考虑π为何在domain上有极值. 数学 11/02 07:13
56F：→ hwanger : 中有一些理论(如compact)或其变形可以当作辅助说明, 11/02 07:14
57F：→ hwanger : 这是比较严格的证明. 一般在非数学系的应用中, 都会 11/02 07:14
58F：→ hwanger : 用一些比如说物理上的理由说明极值存在, 这里要注意 11/02 07:14
59F：→ hwanger : 的是, 你要确保理由够充分而不是在瞎说. 11/02 07:15
60F：→ hwanger : 当你有充分的理由相信极值存在的话, 那在4算出来的 11/02 07:16
61F：→ hwanger : 会是极值. 不过如果你没有足够的理由说明为何极值会 11/02 07:16
62F：→ hwanger : 存在的话, 那通常你能得到最好的结果是你有算出极大 11/02 07:17
63F：→ hwanger : 值或极小值, 不过也会有可能你算出来的都不是极值 11/02 07:17
64F：→ hwanger : 特别注意的是在找全域极值时 check Hessian matrix 11/02 07:21
65F：→ hwanger : 的正定或负定性是没办法说明全域极值的存在性的 11/02 07:22
66F：→ hwanger : 比如说tan(arctan(x)arctan(x-1)arctan(x+1))在全空 11/02 07:22
67F：→ hwanger : 间上有局部极值 但没有全域极值 更甚者 我们可以找 11/02 07:23
68F：→ hwanger : 一个bounded的地方使得该函数有局部极值而无全域极 11/02 07:24
69F：→ hwanger : 值 11/02 07:24
70F：→ hwanger : dπ/dw算出来的是在某组固定的(α,v,r,h,c)下的可能 11/02 07:32
71F：→ hwanger : 极值发生点 是一维affine space上的极值问题 如果允 11/02 07:33
72F：→ hwanger : 许(α,v,r,h,c)可以变动 这空间会变成6维有bounday 11/02 07:35
73F：→ hwanger : 的manifold 极值问题的考虑方式是不太一样的 11/02 07:36
74F：→ hwanger : kkt condition基本上就是上述1到4(含有部份5)的整合 11/02 07:52
75F：→ hwanger : 推广 可以注意到基本上我们都只有考虑first derivat 11/02 07:52
76F：→ hwanger : ive test 11/02 07:52
77F：→ hwanger : 抱歉SciPy似乎没有直接用KKT的模组 可能要网路上找 11/02 08:39
78F：→ hwanger : 或直接写一个module(Matlab/GNU Octave,fortran亦同 11/02 08:40
79F：→ hwanger : ) 不好意思 11/02 08:41
82F：推 chemmachine : 我试过了，限制式不能太多，7.8个以上WOLFRAM会无法 11/02 10:28
83F：→ chemmachine : 理，所以把你的限制式合并成一个连续的不等式 11/02 10:28
84F：→ chemmachine : 我试了很多次删减你的限制式，每次结果都不一样 11/02 10:29
85F：→ chemmachine : 然後不等式WOLFRAM是可以合并的，我稍微试了一下 11/02 10:29