作者LiquidTLO (俊伟)
看板Math
标题[其他] 离散两题
时间Thu Oct 29 17:01:37 2020
题目1:
Throw 7 balls into 5 bins.
What's the probability that at least one of the bins
has precisely 3 balls in it?
想法:
C(n,k) denotes from n choose k
Let A_i be event that i-th bin has precisely 3 balls.
Pr(>=1 bins has precisely 3 balls)
= C(5,1)Pr(A_i) - C(5,2)Pr(A_iA_j) where i!=j
这边Pr(A_i) = C(7,3) * (1/5)^3 * (4/5)^4 应该没问题
Pr(A_iA_j) where i != j
= Pr(A_j|A_i)Pr(A_i)
Pr(A_j|A_i) = C(4,3) * (1/4)^3 * (3/4)^1
不知道对不对
求帮厘清观念
题目二:
https://imgur.com/a/4JMnEpM
Monty Hall Problem
想法:
Case 1:选错後选对
Pr(一开始选错门): (n-k)/n
Pr(揭开j门後选对): k/(n-j-1)
WAS: win after switching
Pr(WAS1)=[(n-k)/n] * [k/(n-j-1)]
=(k/n) * ((n-k) / (n-j-1))
Case 2:选对後选对
Pr(一开始选对门): k/n
Pr(揭开j门後选对): (k-1)/(n-j-1)
Pr(WAS2)=(k/n) * ((k-1) / (n-j-1))
Sum up 2 cases:
Pr(WAS)=Pr(WAS1)+Pr(WAS2)
=[k(n-1)] / [n(n-j-1)]
= (k/n) * ((n-1) / (n-j-1))
To maximize the ratio between Pr(WAS) and k/n
-> To maximize (n-1) / (n-j-1)
k->1
j->n-2
ratio -> (n-1) / (n-(n-2)-1) = n-1
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1F：推 cuylerLin : (2) 考虑一开始有没有选到车子的门 10/29 20:22
2F：→ cuylerLin : 最後两个机率加起来你会得 [k(N-1)] /[N(N-j-1)] 10/29 20:22
3F：→ cuylerLin : 这个机率你想要大於等於 k/N，结果你发现不管怎样 10/29 20:22
4F：→ cuylerLin : 这个不等式都成立 10/29 20:22
5F：→ LiquidTLO : 我怎把对的门记成1门了.. 10/29 22:52
6F：→ LiquidTLO : 不等式都成立没错 10/29 22:55
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/29/2020 23:07:12
7F：→ LiquidTLO : 不对啊，他可以小於 10/29 23:08
8F：→ LiquidTLO : 小於就是题目要求的 10/29 23:10
9F：→ LiquidTLO : Pr(WAS)=[k(n-k)] / [n(n-j-1)]才对 10/29 23:23
10F：→ cuylerLin : 有两个case要考虑喔，第一次选到门然後换到门，跟第 10/29 23:30
11F：→ cuylerLin : 一次没选到门然後换到门，加起来就是我一开始写的结 10/29 23:30
12F：→ cuylerLin : 果 10/29 23:30
13F：→ cuylerLin : 选到车换到车才对，一直打成门XD 10/29 23:30
14F：→ LiquidTLO : 了解，我没考虑到选车换到车 10/29 23:47
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/30/2020 00:08:54
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/30/2020 00:17:49
15F：→ LiquidTLO : 所以我能得到最高的ratio是n-1 10/30 00:31
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/30/2020 00:31:52
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/30/2020 00:53:04
※ 编辑: LiquidTLO (125.230.217.188 台湾), 10/30/2020 02:05:11
16F：→ hwanger : (1)没有仔细去看原PO想法 抱歉 但如果把问题想成抽 10/30 13:09
17F：→ hwanger : 0号到4号球 抽後放回 连续押7次的话 是可以写成程式 10/30 13:11
19F：→ hwanger : 算出来是40600/78125 应该就可以检验原本想法对不对 10/30 13:15
20F：→ LiquidTLO : 答案一样 10/30 14:24
21F：→ LiquidTLO : python还可以这样玩lol 10/30 14:29