: 推 LPH66 : 并没有无关喔, 後一问题是原问题改变 base case 10/27 16:50 : → LPH66 : 後一问题能用原论证证明表示原论证本来就无误 10/27 16:51 : → LPH66 : 问题完全只在 P(1)→P(2) 无法用原论证证明 10/27 16:51 : → LPH66 : 但就因为这一个无法证明使得结论变为荒谬 10/27 16:52 : → hwanger : 原本问题是"对於任意n匹马 这n匹马颜色都相同" 10/27 17:34 : → hwanger : 形式是" for all x1,x2,...xn, Q(x1,x2,...,xn)" 10/27 17:34 : → hwanger : 改过的问题是"对於任意n匹马 若任意两两颜色相同 则 10/27 17:34 : → hwanger : 这n匹马颜色相同" 10/27 17:34 : → hwanger : 形式是 "for all x1,x2,...,xn, if for all i,j A(x 10/27 17:34 : → hwanger : i,xj), then Q(x1,x2,....,xn)" 10/27 17:34 : → hwanger : 第2个问题只要固定其中一匹马 大家都跟这匹马相比即 10/27 17:34 : → hwanger : 可 10/27 17:34 : → hwanger : 就算硬要用数学归纳法证 两者的induction hypothesi 10/27 17:34 : → hwanger : s也不同 10/27 17:34 : → hwanger : 第一个P(n):对於任意n匹马 这n匹马颜色都相同 10/27 17:34 : → hwanger : P(n)推P(n+1):若"任意n匹马 这n匹马颜色都相同" 则 10/27 17:34 : → hwanger : "任意n+1匹马 这n+1匹马颜色都相同" 10/27 17:34 : → hwanger : 第二个P(n):对於任意n匹马 若任意两两颜色相同 则这 10/27 17:34 : → hwanger : n匹马颜色相同 10/27 17:34 : → hwanger : P(n)推P(n+1):若"对於任意n匹马 若任意两两颜色相同 10/27 17:34 : → hwanger : 则这n匹马颜色相同" 则 "对於任意n+1匹马 若任意 10/27 17:34 : → hwanger : 两两颜色相同 则这n+1匹马颜色相同" 10/27 17:34 : → hwanger : 用到的假设和要证的东西已经不同了 你说用类似的想 10/27 17:34 : → hwanger : 法证ok 但直接用原论证一定是不行的 10/27 17:34 : → hwanger : 最简单的看法就是 从n+1匹马选出n匹马後 在第一个 10/27 17:34 : → hwanger : 情况 这n匹马就是同颜色的 但在第二个情况 你必须 10/27 17:34 : → hwanger : 先check任意两两相同颜色 才能下结论这n匹马同颜色 10/27 17:34 : → hwanger : 两者推到选出来的n匹马同颜色的方式不同 10/27 17:34 : → hwanger : 荒谬的是"对於任意n匹马 这n匹马颜色必然相同" 10/27 17:39 : → hwanger : "对於任意n匹马 若两两颜色相同 则这n匹马颜色必然 10/27 17:39 : → hwanger : 相同"则完全没问题 10/27 17:39 : → hwanger : 两个问题形式已经不同 说是相关勉强可以 但并不是 10/27 17:45 : → hwanger : 谁基於谁 我认为无关 就是他们形式上已经无关 前者 10/27 17:45 : → hwanger : 有问题的证明 也没办法直接给後者用(实际上也不需要 10/27 17:45 : → hwanger : ) 10/27 17:45 我这样写好了: P(n): 「任意 n 只马的颜色全都相同」 那原始命题 (命题 A) 就是「证明对所有自然数 n, P(n) 成立」 修改後的命题 (命题 B) 就是「已知 P(2) 成立, 证明对所有自然数 n, P(n) 成立」 在原始问题的归纳法推论中, 没有问题的推论是 「对於 n≧2, P(n)→P(n+1)」 单单使用这个归纳推论以及「已知 P(2) 成立」即可证明命题 B 成立 而你使用不同的方法证明了命题 B 只不过再一次强调了命题 B 是没问题的 那为什麽命题 A 就有问题? 正是因为中间缺的这根骨牌 P(1)→P(2) P(1) 显然成立没有问题 但只有 P(1) 成立无法推出 P(2) 成立, 其理由即是最原 PO 说的「无法重叠」 所以命题 A 的这个证明就有问题了 －－不过一个证明有问题并不全然表示原题是错的 这里命题 A 是错的的原因我们能用别的方式说明 (eg. 举个反例) 而命题 A 是错的但命题 B 是对的这个事实 (这两件事都可以用跟原数归证明无关的的证明得到←这是重点) 正是在说明原数归证明命题 A 的误区恰好就是 P(1)→P(2) 的推论有问题 如此而已 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主义　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための凉宫ハルヒの団　　　 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 106.1.234.196 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1603793252.A.4C5.html ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/27/2020 18:07:38 改用「命题」称呼, 不然都在写问题东问题西的整个看起来很有问题 orz ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/27/2020 18:11:59 我觉得你从头到尾一直都纠结在命题 A 当中 命题 B 确实和命题 A 是不同的题目 (就是你说的不同宇集) 引我很久以前回同一件事的推文就是: ※ #1K8ckEa5 (Math) : → LPH66 : 你可以想像一个平行世界, 那里任两只马都确实同色 09/25 01:07 : → LPH66 : 这样根据这个推论我们就能得到那世界的所有马都同色 09/25 01:08 命题 B 的讨论范围是一个平行世界 但是推论的理由却除了基础不同外和命题 A 是一字不差 那这里会扯命题 B 出来的原因就是: 能够证出命题 B 的这些个推论是合法的 也就是 P(2)→P(3) P(3)→P(4) 等等这些推论都是对的 而命题 A 的推论只因为多了 P(1)→P(2) 整个论证就出现矛盾了 (推出不成立的事) 因此我们能知道命题 A 这个归纳证法失败的根本且唯一理由就是 P(1)→P(2) 不成立 ==== 要说这里有什麽违反直觉的地方大概也就只有 P(2)→P(3) 了吧 在命题 A 的世界里因为 P(2) 不成立, 所以 P(2)→P(3) 这个推论是虚空地真 但是这并不表示在 P(2) 成立的命题 B 的世界里这个推论是否成立 而事实上它成立了: 在命题 B 的世界里能够证出所有马都同色的理由 本质上的核心正是 P(2)→P(3), 不论你用什麽方式证明 所以 P(2)→P(3) 这个在命题 A 的世界里「违反直觉」的推论其实根本没违反什麽东西 因为同一个理由在命题 B 的世界里是很合理也很合逻辑的推论 你因为一直纠结在命题 A 当中所以才会认为这里有个「违反直觉」的地方 ==== 再换句话说: 「P(2)→P(3) 成立」跟「P(2) 成立」跟「P(3) 成立」是三码子事 其中一些成不成立和另外一些成不成立除了由於肯定前件/否定後件导致的推论之外 我们无法对其说些什麽; 特别地, 在命题 A 中第二项不成立无法说明第一项不成立 但在命题 B 中前两项成立, 故能由肯定前件得到第三项成立 同样的, 「P(1)→P(2) 成立」跟「P(1) 成立」跟「P(2) 成立」同样是三码子事 但因为肯定前件的推论, 在命题 A 中第二项成立与第三项不成立能得到第一项不成立 如此而已 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/28/2020 00:40:50 所以我就只是单纯把我当时讲的话引来用而已 你说的没错, 一个推论形式上正不正确本就不该和前提相关 所以我举命题 B 出来的用意仅仅只是要说 「『P(2)→P(3) 成立』根本没什麽反直觉的」这回事而已 因为如你所说, 最原 PO 的问题就在於这个推论对他来说反直觉因此误认归纳法有误 而在我来看, 这「反直觉」的来源是来自於命题 A 中 P(2) 为假造成对推论有所疑虑 那为了打消这个来源, 我才编了这一个命题 B 出来说最原 PO 的问题是在这里 是不需要啊, 但因为我的目的就只是要说这些个推论根本就很正常 那是不是在我举的例子里就要把要说明的推论写进去? 不然我举来做什麽? 我是这麽认为啦, 既然问题是在「直不直觉」这种带有主观性的观点上 那究竟要举出哪些客观事实才足以说明一件事直不直觉其实就已经很主观了 你的观点就是列出这些客观事实其背後的逻辑推导 而我的观点则是举出一个能够实际应用的实例来说明它本来就没问题 －－话是这麽说, 但我自己在做数学时的态度本来也就只是依靠逻辑推导 只是这些年来在网路上回答问题的经验让我会去猜测发问者的问题有可能是卡在什麽地方 为什麽明明就只是这样的东西发问者会说这样不对 再去组织一个回答尝试去打破发问者的误区 －－回到这个问题 因此我认为 (再次重述) 这里的「反直觉」来源是被 P(2) 为假给带走了 於是为了不让「P(2) 为假」带走「直觉」这才提出命题 B 的 实际上我们在讨论的这些论题的合法性就如你所说根本不必要扯到命题 B 因为那是能被基本逻辑推论给出保证的 这也是为什麽我提出命题 B 时会用这麽一个奇怪的方式去证明它 因为重点从来就不是命题 B 而是「反直觉」的推论 也就是我其实是为了说明这推论本来就没问题硬用它来证明命题 B 而已 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/28/2020 02:49:47 最後一大段或许可以这麽简述: 你觉得没必要提这些其他东西, 我当然同意, 我自己也觉得这本来就很 OK 但我认为「觉得这不 OK 的人可能在我提这些东西之後能够承认它 OK」所以我就提了 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/28/2020 03:09:47 ======== 我参加过奥数国手选训营这件事没什麽好藏的吧? IMO_Taiwan 版上都有我的文章了 (虽然只在第一阶段就被刷下来了而已) 我是资工背景这件事也早就是公开的了 (望向上面被推爆的那篇踩地雷文) ======== OK, 既然都说子非鱼安知鱼之乐了 我要来 cue 一下最原 PO fragmentwing: 请问你的问题在看过我们所有人的讨论之後觉得谁的说法能够比较让你接受问题所在? 我的? hwanger 的? TC 的? Ciolos 的? ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/28/2020 15:47:05 (1) 没有逐点回的原因很简单: 你说的事情我绝大多数都同意 你提的逻辑点本来就是对的, 那些逻辑描述本来就是会得到那些推论合理这结论 我们在这里是没有争议的 (2) 而我们有争议的点, 就只有我把命题 B 当做命题 A 的变形但你不同意 因此我认为提命题 B 出来有助说明, 但你认为提命题 B 是模糊焦点 那这又回到上面说到的主观观点了 －－说到底任何两个命题到底有没有类似点这件事本来就很主观 「类似／变形」的标准究竟在哪里? 不就只是因为个别思考模式的关系发现命题间有连系吗? 那在纯逻辑的思考模式下, 经过你罗列出的这许多推演当然能够找到「证明」的问题 这时候确实是不必然也不需要考虑命题 B 的 那我所做的只不过是尝试沿着另一条路思考, 然後发现有一部份的思考路线 似乎和命题 B 的其中一种比较不常有人走的路线有相似之处, 所以提了出来, 这样而已 (3) 我其实对你一直坚持你的思考逻辑并没有意见－－坚持对的逻辑本来就是好事 我在这里提的－－容我再次重述一次－－就只是沿着不同的路线去找问题点而已 或者我应该说清楚一点: 我完全同意用你的方式去找问题是没错的, 我只是提出一个可能的不同观点而已 你不接受这个不同观点也没关系, 因为最一开始提出来的目的也不是要说明给你听 那至於说我误导什麽的, 有没有被误导这就还是要目标说话才算数 所以我才会在上面直接 cue 最原 PO 出来看到底我究竟有没有误导到他 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/28/2020 17:35:47 如果你是说中间 chemmachine 那一段 我是因为那一段和我们之间的讨论基本无关才空行隔开的 原意只是要隔开那一段和我们的讨论, 却似乎造成误会了... 嘛总之这种小事说一下就好没问题的, 我加了两条分隔线应该好一点 好, 我们不要用马跟正整数, 就更抽象一点好了: 给定一个可数集合 U, 以及在其上的一个等价关系 R P'(n) 表示对任何 U 中大小为 n 的子集, 当中任两元素都有这个等价关系 (写成逻辑式子就是: P'(n) := ∀W⊆U, |W|=n → ∀x,y∈W, R(x,y) 这个样子) 然後我们提出两个命题 命题 A': 在上述前提下, 证明对所有自然数 n, P'(n) 成立 命题 B': 在上述前提下, 若还已知 P'(2) 成立, 证明对所有自然数 n, P'(n) 成立 以及对这两个命题使用数学归纳法的「证明」 我也可以用这个抽象写出你的命题 S: 命题 S': 对所有自然数 n > 1, P'(n)→P'(n+1) 并且注意到命题 A' 和 B' 的数学归纳法「证明」确实都是在尝试使用命题 S' 进行归纳 那在考虑这两个证明的合法性时 命题 A' 因为命题 S' 只有在 n > 1 成立, 因此漏掉了中间的一个链子 P(1)→P(2) 所以这个数学归纳法不成立 命题 B' 则没有问题, 从已知的 P'(2) 开始运用命题 S' 即可推论下去 因此这个数学归纳法成立 那如果我们套上实际的问题 对马的问题, U 是所有马的集合, 等价关系 R 是两只马同色 对你的正整数问题, U 是所有正整数的集合, 等价关系 R 是相等 这就成了我们前面一直争论的命题 A 和命题 B 了 －－我猜你应该会在这里要我等一下, 说我这个抽象不成立 那我请问: 我们就先不看命题 B' 上面的抽象以及命题 A' 和 S' 在这个抽象里的叙述 是否和我们所讨论出来的「命题 A 为何数归不成立」是一致的? 就只有把 U 代换成所有马的集合, 把 R 代换成两只马同色而已 那何以单单多了一个「P'(2) 为真」前提的命题 B' 就无法接受了呢? 如果能接受命题 B', 对命题 B' 进行相同的代换就是命题 B 了啊! 若不是, 它又不是在什麽地方? 我这样子的抽象和代换究竟混淆了什麽概念? 是所讨论的集合 U? 是所讨论的等价关系 R? 还是 P'(2) 这个叙述本身? ==== 延伸一下 wohtp 提的「模型背後的代表意义」 我是否可以说, 我被指称「混淆」的 是否就是「U := 正整数 和 R := 相等 代进命题 B' 就会因为代表意义有问题」? 数学上时常有这样子的讨论 有一个符合某些条件形成的集合, 我们不知道集合里有没有东西 但我们会去讨论集合里东西会有什麽额外的性质 如果实际上这个集合里後来真的发现没有东西 那请问先前讨论这个集合里东西的性质的讨论是否也会「因为代表意义」失去价值? ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/29/2020 04:20:34 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/29/2020 05:52:12 好的, 那显然这就是我从一开始就形式化不够彻底造成的误会了 我的命题 B 甚至命题 B' 从头到尾形式上就只是你的 (4) 而不是 (1) 命题 B 和命题 B' 从头到尾就没想要证 (1) (而且本来就证不出来啊, 理由你已经罗列出来了) 我引一下最一开始提起这个命题的 TC 的推文: : → TimcApple : 如果题目改成「若任两匹马颜色一样 10/27 13:08 : → TimcApple : 则所有马颜色一样」这样用数归证就不会错 10/27 13:08 : → TimcApple : 毕竟起点是 2 不是 1 了 10/27 13:08 我们对於命题 B 的讨论一直都是有「P(2) 是前提」这件事的 而依你的回应, 产生误会的点是在於 : 你们写下来的证明形式化後是 (2) 和 (3) 是啊, 要用数学归纳法证 (4) 当然写下来是 (2) 和 (3) 只不过 (2) 的理由不是 axiom/theorem 而是 assumption (所以最後变成 (4) 的前件) 你认为我所混淆的应该就是 ↑ 这两个 ↗ 东西 －－ (2) 在证明当中的理由 －－ 吧 但因为我的命题 B 从头到尾都是 (4) 所以我才会搞不懂你在说我把什麽搞混了 ==== 那回到最一开始「不直观」、「类比」的议题 我们持的「这个论证没有不直观」、「两个是类似题」的理由其实就是 用在了命题 A 这证明的 (3) 也同样用在了命题 B (4) 的那证明 而 (4) 的那证明完全没有问题 －－也就是我们在说: 「(3) 这是很普通的数学归纳法的证明」 「但命题 A 这证明在用 (3) 时因为没注意到 (3) 在 n = 1 不成立所以失败」 「因为你看, 同样用 (3) 的命题 B 那证明就没问题了」 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/29/2020 23:30:56 所以现在是要来一个一个拆我的文章里的逻辑错误嘛, 那就来 (躺上烤架) 先说我并没有不高兴 因为我的回文风格就如前面说过的已经是会去尝试理解我回的人问题在哪来解决 不说别的, 整件事过了三四天我还在这里跟你丢球也是因为这样 但是一个人做事总不可能只有赞没有倒赞嘛 那既然有这麽一个好机会让我吃几颗触身球我当然很乐意 ==== (i) 我提「平行世界」讲的其实是: 命题 A' 和命题 B' 所讨论的 U 是不同的集合 因为符合命题 B' 的前提 (包含 P'(2) 成立) 的 U 本来就不会是命题 A' 在讨论的 上一行我加了个括号说包含 P'(2) 成立, 也就是说在我的心目中 命题 A' 的讨论目标是「集合 U 有关系 R」这样的 U 命题 B' 的讨论目标是「集合 U 有关系 R 且 P'(2) 成立」这样的 U 因此「前提上」A' 的 U 和 B' 的 U 不一样, 所以才会说「平行世界」 这里就先跳到你的 (iii) －－从这里看起来, 对你来说这整件事从头到尾都只有一个 U, 一个 model 然而我在做的论证不知从哪里飞来一个 P'(2) 成立再去做因此是荒谬的 这也可以从你後来举了正整数的例子出来可以见之 那所以是我对「讨论的 model」这东西有什麽误解吗? 这里也可以带到 (iv), 而我觉得这里就是我们的认知不同的关键点: 我是否能够因为我的论证里只讨论符合所有前提的事 而就直接把这些「符合所有前提的事」的集合做为我的 model? 还是我必须要先提出一个在我的讨论中所使用到的大范围性质的 model (抱歉这个「大范围性质」我一时想不到有什麽精确一点的数学说法...) 然後对它提出「若这 model 有某某前提的话」? 这其实关系到 (iii) 中究竟论证前提是否能写做├ P'(2) 我认为可以, 因为在我的 model 这是 model 的性质, 自然成立; 你认为不行, 因为 P'(2) 在命题 B' 中始终是 assumption 因此只能写成 (4) 的 P'(2)├ …… 这样一来, 你说我的命题 B' 是 (1) 这件事也是合理的了 因为它真的是 (1), 只是在讨论的 model 上不一样 －－不过也或许, 以上这一大段都是我的误解 不然这个解释无法说明你为何一直认为我的 P'(2) 是天外飞来一笔: 因为你也同意命题 A' 和命题 B' 的 model 不同 那为何要把命题 B' 的 (1) 这个形式放在命题 A' 的 model 中 然後再说我不知哪里飞来 P'(2)? 是我对「model」这个概念有什麽根本上的误解吗? 再来, (v) 这里就是一个我认为由於我的行文风格造成的问题: 因为我简化了很多东西造成文章里会有让人以为有某种 implication 但那却是不该有的 例如最上面的 : 而命题 A 是错的但命题 B 是对的这个事实 : 正是在说明 (以下略) 这里就是你在说的我想用 (4)「证明」(3) 吧 但我原意只是将两个证明方式拿出来对比, 指出共同点的 (3) 再藉 (4) 的论证有效但「命题 A」的论证无效指出其无效的原因在哪里而已 那这里就可以回到 (ii) 我其实很早就同意命题 B' 不需要数学归纳法就能做了, 也是在最上面同一个地方: : (这两件事都可以用跟原数归证明无关的的证明得到←这是重点) 那所以我的行文重点一直都尝试着重在「这两个命题其使用数学归纳法的证法的对比」 只不过由於前面提到的行文简化的关系, 会让人以为我在说 (4)「证明」(3) 这点确实是我的写法不当 最後, (iv) 里有另一件事我还没提到: 哪些论证是否直觉的论述 我会认为 (3) 并没有违反直觉其实心里并没有在想着 U 是马还是正整数还是什麽 因为没有预设 U 是什麽东西, P'(2) 就单单只是个为真的前提而已 不会因为哪个特定的 U 使得 P'(2) 为假就认为令它为真会反直觉 －－我讨论的就是 P'(2) 为真的那些东西嘛, 考虑其他的做什麽... 这又接回到这次回应最开始的地方 我其实就只是为了指出在 P'(2) 为真的地方这论证形式并没有什麽反直觉之处 这才提出了一个 model 不同且这个 model 有着 P'(2) 为真这性质的命题 B' 出来 你要说这是我改变前提然後说它不反直觉我可以承认 我的目的本来就是藉这个对比说这个证法是 OK 的而已 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/30/2020 07:48:54 非胜不可的战役...吗; 不可否认我一开始是有想说服你的念头 但後来 (至少上一次回应) 我的期望已经变成来说服我吧 只是看起来你已经被我反覆的立场改变给搞乱了 (我的立场在回应之间确实有变, 所以才会一下子说 (1) 一下子说 (4)) 那在我厘清自己的立场之前再讨论下去对事情并不会有帮助 就在这里打住吧－－我会继续思考到底什麽立场才是对的, 我先前的问题在什麽地方 ※ 编辑: LPH66 (106.1.234.196 台湾), 10/31/2020 06:45:50