作者Yenfu35 (广平君)
看板Math
标题[中学] 同一代数证明题的不同证明方式
时间Tue Oct 20 00:17:58 2020
我所属的高中校友FB群组有学长分享了距今30多年前的数学考卷。
由某个选择题的选项可知，n为自然数时「2的3n次方减1」恒为7的倍数。
我在证明时想到两种证法。
第一种是数学归纳法：
令f(x) = (2^3x)-1、且x为自然数，
先证明f(1)是7的倍数，
然後设f(k)是7的倍数、据以证明f(k+1)、f(k+2)也都是7的倍数，
因此得证。
後来又想到第二种证法，是综合使用指数律及多项式法则：
(2^3x)-1 = [(2^3)^x]-1 = (8^x)-1
已知n为自然数时多项式(a^n)-1恒有因式a-1，
故a=8时(8^x)-1恒有因式 8-1 = 7，
因此得证。
我知道数学归纳法很稳、不会有什麽问题，
但是不确定第二种方法会不会有问题、特别是严谨性的问题；
而我高中已毕业快20年、已经无人可问，故在此请问。
谢谢。
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1F：推 LPH66 : 没什麽问题: 整系数多项式的因式关系代入整数值 10/20 00:23
2F：→ LPH66 : 是能够转成整数间的因数关系的 10/20 00:23
3F：→ LPH66 : 其理由是原本的因式关系只涉及整系数 10/20 00:24
4F：→ LPH66 : 代入之後不只所求的两数, 连商数也是整数 10/20 00:24
5F：→ LPH66 : 这个整商就代表了得出来的整数之间有因数关系 10/20 00:25
6F：→ LPH66 : 以你的例子来说, 例如 a^4-1 = (a-1)(a^3+a^2+a+1) 10/20 00:26
7F：→ LPH66 : 代入 a=8 得 8^4-1 = (8-1)*(8^3+8^2+8+1) 10/20 00:27
8F：→ LPH66 : 右边括号内为整数说明了 8^4-1 有因数 8-1=7 10/20 00:27