作者coastq22889 (chi_square)
看板Math
标题[分析] f(f(x))=x+2=?=>f(x)=x+1
时间Sun Sep 27 19:00:18 2020
如题，已知对所有x属於实数
f(f(x))=x+2，可否证明有唯一的f(x)=x+1呢
已经试过很多方法，但是都没办法把f(f(x))分开，但又找不到什麽反例
烦请各位先进赐教
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※ 编辑: coastq22889 (110.28.164.221 台湾), 09/27/2020 19:03:25
1F：→ hwanger : 假设f是analytic的话 应该是可以证 不太确定假设连09/27 19:49
2F：→ hwanger : 续或可微是否可证 什麽都不假设 就有反例如下09/27 19:50
3F：→ hwanger : 视R是一个over Q的vector space 则由Zorn's lemma可09/27 19:52
4F：→ hwanger : 得一个包含1的basis B 定义f是一个translation合成09/27 19:56
5F：→ hwanger : 一个linear map, T。L 其中T(x)=x+1/2, L(1)=1,09/27 19:58
6F：→ hwanger : L(b)=-b for all b in B, b不等於109/27 19:59
7F：→ hwanger : Typo:T(x)=x+1 故T。L。T。L(x)=(T。L)(L(x)+1)=09/27 20:02
8F：→ hwanger : T(L^2(x)+1) = L^2(x) + 2 = x+209/27 20:03
这里应该先考虑一些好的条件，例如连续可微反函数存在等等，解析函数不知是否太强，不
过若解析函数能使的f(z)=z+1唯一成立，是否能再进一步利用实部与虚部的对称来得到实数
的命题呢？
※ 编辑: coastq22889 (110.28.164.221 台湾), 09/27/2020 20:11:56
9F：→ hwanger : 不太确定为何原PO必须先考虑复解析函数再考虑实解析09/27 22:08
10F：→ hwanger : 函数 反正我现在也没那麽确定analytic的case(原本是09/27 22:10
11F：→ hwanger : 要用类似Theorem 3.4, Complex Analysis, S. Lang去09/27 22:11
12F：→ hwanger : 硬算 还没真的验证过) 不过只考虑可微是有反例的09/27 22:13
13F：→ hwanger : 令f(x)为下图中由一堆四分之一圆所连成的函数09/27 22:14
15F：→ hwanger : 令g(x)=f(x)-2 则f,g因为对x=y对称 所以互为反函数09/27 22:17
16F：→ hwanger : x=g(f(x))=f(f(x))-2 故f(f(x))=x+209/27 22:18
感谢！居然可以这样造出反例，让我再好好研究一下
17F：→ hwanger : 有一点小缺陷 上面的例子只能用作连续情况的反例 不09/27 22:21
18F：推 Vulpix : 那你就把cos的图形压扁一点再旋转之45度啊。09/27 22:23
19F：→ hwanger : 过改个六分之一圆的相接就可以造可微情况的反例 09/27 22:24
20F：→ Vulpix : 然後这就会是解析反例。 09/27 22:26
21F：→ hwanger : 其实也考虑过V大所说的 如果造得出来就会是解析反例 09/27 22:32
22F：→ hwanger : 不过f(x)和f(x)-2对称於x=y这个条件其实也没那麽容 09/27 22:33
23F：→ hwanger : 易达成 冏 09/27 22:34
24F：推 TimcApple : 由於 f(x) = y implies f(x+2) = y+2 09/27 22:47
25F：→ TimcApple : 所以只要 f 对 y=x+1 对称再沿 y=x+1 平移根号 2 09/27 22:48
26F：→ TimcApple : 的图形长的一样就好09/27 22:48
27F：→ TimcApple : sin(pi x)/2pi 逆时针转 45 度再往上平移 1 09/27 22:49
28F：→ TimcApple : 就符合条件了 09/27 22:49
29F：→ hwanger : 稍微厘清了一下三角函数转pi/4是ok的 不过会出现新 09/27 22:54
30F：→ hwanger : 的问题 为何转了之後还是可以解析的 09/27 22:55
其实不一定要解析啦，连续函数就可以了，解析只是看说如果有更强的条件看有没有机会达
到
31F：→ hwanger : 不过至少三角函数所造出来的例子可以当作无穷可微的 09/27 22:56
32F：→ hwanger : 反例 09/27 22:56
33F：推 Vulpix : 就推给隐函数那类定理嘛XD 09/27 22:56
34F：→ hwanger : XD 我一开始也很想推给这类定理 不过李组长眉头一皱09/27 23:07
35F：→ hwanger : 发觉案情并不单纯... XD 09/27 23:08
※ 编辑: coastq22889 (110.28.164.221 台湾), 09/27/2020 23:10:11
36F：→ hwanger : 那重新缩放cos并向上抬1 再旋转45度 再用隐函数定理 09/27 23:22
37F：→ hwanger : 就可以证明有一个无穷可微的反例 09/27 23:23
38F：→ hwanger : 我们只剩下可解析可以说嘴了(假设f是polynomial就等 09/27 23:27
39F：→ hwanger : 於没有假设了 冏) 09/27 23:28
40F：推 TimcApple : 设 g(x) = f(x) - x, 这样 g(x) 的周期至少是 2 09/27 23:39
41F：→ TimcApple : 然後 Fourier 一下 应该就是可解析了吧 09/27 23:39
42F：→ TimcApple : (还是 Fourier 和可解析无关, 可是 g 是连续的喔) 09/27 23:40
43F：→ TimcApple : 啊我不知道XD 有人能继续吗(?) 09/27 23:40
44F：→ hwanger : XD 看不太懂T大想要干什麽 不过"Fourier 一下"应该 09/27 23:48
45F：→ hwanger : 是指Fourier transform 做出来的例子和可解析通常无 09/27 23:49
46F：→ hwanger : 关 冏 现在更冏的是太多工程数学把FT描述得太神了 09/27 23:51
47F：→ hwanger : 就算原函数有一定程度的分析的性质 FT得到的series 09/27 23:53
48F：→ hwanger : 仍然可以是光怪陆离的 冏 09/27 23:54
49F：→ hwanger : 离FT有段时间了 不过隐约记得是有可能从连续函数造 09/27 23:57
50F：→ hwanger : 出处处不收敛的Fourier series 09/27 23:59
51F：→ hwanger : 而且Fourier series就算收敛也没保证连续 冏 09/28 00:01
52F：→ hwanger : Fourier series远没有Taylor series来得好 不过因为 09/28 00:04
53F：→ hwanger : 处理wave很方便 所以才这麽重要 冏 09/28 00:06
54F：推 Vulpix : FS在断点收敛到平均值，这不是非常美好吗XD 09/28 00:06
55F：→ hwanger : XD 实用最重要 09/28 00:28
56F：→ TimcApple : 我的意思是 找个不要太丑的函数 用 Fourier 拆了 09/28 00:28
57F：→ TimcApple : 每个 sin 再用 Taylor 拆光 最後检查有没有收敛 09/28 00:29
58F：→ hwanger : 上面打错 不是处处不收敛 而是可以在一个countable 09/28 00:29
59F：→ TimcApple : 如果有这样的函数那不就是 analytic 09/28 00:30
60F：→ hwanger : dense subset上不收敛 09/28 00:30
61F：→ TimcApple : 我没有说所有能用 Fourier 表示的函数都要没问题啊 09/28 00:30
62F：→ hwanger : 我没有说不可能做得到呀 冏 我只是想说我们其实没有 09/28 00:34
63F：→ hwanger : 任何定理保障这样尝试会有希望 而且更常出现的情况 09/28 00:35
65F：→ hwanger : 是 我们由此造出来的函数通常会在离散点上不是可解 09/28 00:36
66F：→ hwanger : 析的 冏 09/28 00:37
67F：→ Vulpix : 这是我把多出来的东西扣掉的结果。其实过程是单纯的 09/28 00:37
68F：→ Vulpix : ：y=0.5cos(π(x+y)/2)在某个区间内可以写成 09/28 00:39
69F：→ Vulpix : arccos(2y)=π(x+y)/2，也就是 09/28 00:39
70F：→ Vulpix : x=2/π*arccos(2y)-y 而这是解析函数，延拓他到 09/28 00:44
71F：→ Vulpix : 复数域上，局部来说都可以得到解析反函数。 09/28 00:45
72F：→ Vulpix : 所以 y=0.5cos(π(x+y)/2) 解析，那加上 x±1 也都 09/28 00:46
73F：→ Vulpix : 解析了！ 09/28 00:46
74F：→ Vulpix : 要说明解析真的很难，复数延拓好像是最好用的了。 09/28 00:48
75F：→ Vulpix : 现在应该还剩下 y=0.5cos(π(x+y)/2) 的极值点:p 09/28 00:48
76F：推 hwanger : 冏 可是eq3得到的power series y=y(x)只能用在eq3上 09/28 00:49
77F：→ hwanger : 就算eq2的y'可以写成x的power series y'(x) 他也不 09/28 00:52
78F：→ hwanger : 是eq3的y(x) 冏 09/28 00:52
79F：→ hwanger : 这就有点像考虑 y=(2y+x)+x-1 和 y=(2y+x) 09/28 00:55
80F：→ hwanger : 我举得例子真烂 冏 09/28 00:57
81F：→ hwanger : 我想讲得是 eq3得到y(x)不可能只是加x-1 就变成eq2 09/28 00:59
82F：→ hwanger : 的power series 09/28 00:59
83F：→ hwanger : 但是我也觉得eq1应该就是反例 不过毕竟没有证明 09/28 01:08
84F：→ hwanger : 话说eq3根本不是eq1得到的函数再去减x+1 冏 这次终 09/28 01:24
85F：→ hwanger : 於有一个像样的例子 y=y^2+x+1得到y=f(x) 但 09/28 01:25
86F：→ hwanger : f(x)-(x+1) 不应该是y=y^2 09/28 01:26
88F：→ hwanger : theorem for several complex variables在eq1上就好 09/28 01:48
89F：→ hwanger : 了 冏 跟多复变不熟 09/28 01:49
90F：推 Vulpix : 问题是隐函数定理最後只能做出 C^∞ 啊。 09/28 02:14
91F：→ Vulpix : 没事，对。通常就是用这种。 09/28 02:16
92F：推 chemmachine : F不要求连续有无穷多个UNCOUNTABLE反例，F^2(X)将1 09/28 10:12
93F：→ chemmachine : 送到3，所以可以找到f(x)=x+1只定义在x=1或 09/28 10:14
94F：→ chemmachine : f(x)=x*sqrt(3/1)则f(f(x))=1*sqrt(3/1)*sqrt(3/1) 09/28 10:16
95F：→ chemmachine : f(x)在x=2可定义为f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(4/2) 09/28 10:17
96F：→ chemmachine : 如此类推，在x=a处定f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(a+2/a) 09/28 10:18
97F：→ chemmachine : 每一点至少两组解共有2^R个可能R的个数为ALPHA NAUG 09/28 10:20
98F：→ chemmachine : HT1，这只是基本处处不连续状况，所以必要条件才比 09/28 10:21
99F：→ chemmachine : 较有讨论性 09/28 10:22
100F：→ hwanger : 先看f(f(1))=f(√3) 按照你的定义接着不是乘√3 因 09/29 08:40
101F：→ hwanger : 为f(1)!=f(√3)=√3*√(√3+2/√3)!=3 09/29 08:40
102F：→ hwanger : 如果只是要uncountable多结果的结论 用我一开始的 09/29 08:45
103F：→ hwanger : 反射+平移的例子 或之前在用三角函数时 调整缩放的 09/29 08:45
104F：→ hwanger : 高度 09/29 08:45
105F：推 chemmachine : HW大你误会了，F(1)=1*3^0.5 F(3^0.5)=3^0.5*3^0.5 09/29 09:49
106F：→ chemmachine : 喔喔不同点不一样，恩这个有错。就用反射+平移和X+1 09/29 09:52
107F：→ chemmachine : 造出UNCOUNTABLE的非连续点点反例 09/29 09:52