作者rfvbgtsport (uygh)
看板Math
标题[代数] 请问有理数，化成循环小数
时间Tue Sep 15 11:48:18 2020
[代数] 请问有理数，化成循环小数，共有几个循环节？有判别方法？
如1/17，谢谢！
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1F：推 doa2 : 循环节不会超过16，也就是n-1 09/15 12:28
2F：→ rfvbgtsport : 可否告知为什麽是16？要怎麽判别，谢谢 09/15 13:00
3F：→ hwanger : 假设m/n无法除尽 则n不是2^s5^t的样子 并得 09/15 13:12
4F：→ hwanger : m*10^0, m*10^1,...,m*10^n除n的余数必须为1,2,..., 09/15 13:15
5F：→ hwanger : n-1 (前面打错 是m*10^0, m*10^1,...,m*10^{n-1}共 09/15 13:16
6F：→ hwanger : n个) 则由鸽笼原理 必有两个余数相同 所以循环了 09/15 13:17
7F：→ hwanger : "则n不是2^s5^t的样子">>>这句话是多的 冏 09/15 14:02
8F：→ rfvbgtsport : 请问有直接判别，几个循环节的方法？不用证明 09/16 16:38
9F：推 LPH66 : 所求为 10 对余 n 的 multiplicative order 09/16 18:04
10F：→ LPH66 : *同余 n 09/16 18:04
11F：→ LPH66 : 意思是 10^m ≡ 1 (mod n) 的最小整数 m 09/16 18:05
12F：→ LPH66 : 对所有 n 能一致成立的已知事项只有一楼所言 09/16 18:06
13F：→ LPH66 : 它不会超过 n-1, 以及它是 phi(n) (欧拉 phi 函数) 09/16 18:07
14F：→ LPH66 : 的因数 09/16 18:07
15F：→ hwanger : "请问有直接判别...">>>r大是要问演算法吗 证明可以 09/16 23:40
16F：→ hwanger : 直接当演算法 还是r大是要用什麽具体的性质 09/16 23:40
17F：→ hwanger : 如L大所述(不过我还是用我上面的符号) 这已经牵扯 09/16 23:51
18F：→ hwanger : 到(Z/nZ)*的结构问题 所以r大给个具体想要的条件 才 09/16 23:51
19F：→ hwanger : 能判断能不能做到 09/16 23:51
20F：推 hwanger : 前述演算法的具体作法: 假设gcd (m,n)=1且m/n无法 09/17 00:44
21F：→ hwanger : 除尽 去算最小的s<t 满足10^s≡ 10^t (mod n) 则循 09/17 00:44
22F：→ hwanger : 环节为t-s 09/17 00:44
23F：推 LPH66 : 噢对, 我的说法其实少一个条件: 要有 gcd(10,n)=1 09/17 01:42
24F：→ LPH66 : 才能用 10^p≡1 的条件去判断, 一般仍要用上式 09/17 01:43
25F：→ LPH66 : 10^s≡10^t 才行, 而这是因为当 n 和 10 不互质时 09/17 01:43
26F：→ LPH66 : 在循环节前会有不属於循环的位数 09/17 01:44
27F：→ LPH66 : 例如 n=12 (1/12 = 0.1666...), 会求得 10^2≡10^3 09/17 01:46
28F：→ hwanger : 或直接沿L大的思路走 一样假设gcd (m,n)=1且m/n无法 09/17 10:14
29F：→ hwanger : 除尽 并令n=2^s*5^t*p1^k1*...*ph^kh 则去找最小的 09/17 10:16
30F：→ hwanger : 正整数c 满足10^c≡1 (mod p1^k1*...*ph^kh) 09/17 10:19
31F：→ hwanger : 其中c从φ(p1^k1*...*ph^kh)或φ(n)的因子去试即可 09/17 10:45