作者LastLife (抉择)
看板Math
标题[其他] 方程式求整数解
时间Sat Sep 12 15:28:54 2020
22X + 22Y + 5Z = 1685100
X、Y、Z皆需为整数（且须大於0，不得为负数）
（X跟Y可相同或不同）
请问有可能吗？
还是不可能三个都整数？
感谢各位高手解答
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1F：→ hwanger : 可以 直接考虑22x+5y=1685100的整数解即可 09/12 15:59
2F：→ hwanger : 由辗转相除法可得22(-2)+5*9=1 所以 09/12 16:01
3F：→ hwanger : 22*(-3370200)+5*15165900=1685100 09/12 16:03
4F：→ hwanger : 你再随便找X,Y使得X+Y=-3370200 09/12 16:04
5F：→ hwanger : 更进一步 我们可以证明 a_1*x_1+a_2*x_2+...a_n*x_n 09/12 16:15
6F：→ hwanger : =N 有整数解 若且唯若 gcd(a_1,...,a_n)|N 09/12 16:16
7F：→ hwanger : 这是因为gcd(gcd(...gcd(gcd(a_1,a_2),a_3)..),a_n) 09/12 16:22
8F：→ hwanger : =gcd(a_1,...,a_n) 然後一直用辗转相除法就可以了 09/12 16:22
抱歉忘记说明
我是需要三个都是正数，不能负数
是否有解？
谢谢！
※ 编辑: LastLife (223.140.75.107 台湾), 09/12/2020 16:54:37
9F：→ hwanger : 有 考虑 22x+5y=137 的解就可以了 如22*6+5*1=137 09/12 17:29
10F：→ hwanger : 更进一步 我们可以证明 "让a,b,n为正整数 若 09/12 19:53
11F：→ hwanger : gcd(a,b)|n 且若ax+by=n的x截距大於等於b(或等价地 09/12 19:56
12F：→ hwanger : y截距大於等於a 则ax+by=n必有非负整数解 09/12 19:57
13F：→ hwanger : 特别地 若是严格大於的话 则ax+by=n必有正整数解" 09/12 19:59
14F：推 jchin : 22(76595-5k) + 5(2+22k) = 1685100, k=0,...,15318 09/13 06:56
15F：→ jchin : 再讨论(x+y)=(76595-5k), z=(2+22k)? 09/13 06:58
16F：推 BJtt : 38295,38295,24 09/14 15:43