※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之铭言： : 我们定义 边长为1单位的正方形面积=1 : 长方形的长=6 宽=3 : 我们可以把此长方形的长切6等份 宽切3等分 : 那麽就可以形成6x3个面积为1的正方形 : 所以此长方形面积=6x3=18 到这边已经处理完边长为nxm ; n,m皆为正整数的情况 下一步应该处理 长宽为正整数的比值的情况 也就是长为 m/p 宽为 n/q , (m,n,p,q皆为正整数) 的长方形 容易看出, 把 pxq 个相同的长方形排在一起, 可以得到一个边长为 mxn 的大长方形 因此就得到每个长方形的面积为 (mxn)/(pxq) 最後假设长宽为根号三的正方形面积为X 我们可以用两个数列来逼近根号三 : An = 1.7, 1.73, 1.732, 1.7320, 1.73205 , ...... Bn = 1.8, 1.74, 1.733, 1.7321, 1.73206 , ...... 因为小数可以写成分数 所以长宽为 An 的正方形边长为 An^2 长宽为 Bn 的正方形边长为 Bn^2 而 An < 根号3 < Bn 因此 所有边长为 An 的正方形都比 边长为 根号3的正方形小 而 所有边长为Bn 的正方形都比边长为根号三的正方形大 但是 当 n 很大的时候 An^2 和 Bn^2 会无限的接近 3 所以边长为根号三的正方形面积 只能等於 3 把以上思路写得正式一点的话: 设数列 An = 17/10, 173/100, 1732/1000, ...... , Pn / 10^n, ...... 数列 Bn = 18/10, 174/100, 1733/1000, ......., (Pn + 1)/10^n, ...... 其中 Pn = 使得 [ Pn/10^n ]^2 < 3 的最大整数 对所有正整数 n , An < 根号3 < Bn , An^2 < 3 < Bn^2 而长宽为 An的正方形面积 < 长宽为根号三的正方形面积 < 长宽为Bn的正方形面积 也就是 An^2 < X < Bn^2 但是 Bn^2 - An^2 = (2Pn + 1) / 10^2n < (4*10^n + 1) / 10^2n = 4/10^n + 1/10^2n 因此 | Bn^2 - An^2 | 随着n变大, 可以无限的缩小 因此满足 An^2 < X < Bn^2 的实数是唯一的, 也就是 X = 3 (可以证明 若 X < 3, 则必找得到 正整数 u 使得 n>u时, An > X 矛盾 ; 同理若 X>3, 则必找得到正整数 v 使得 n>v时, Bn < X 矛盾) : 我想请问的是 那要如何解释边长为根号3的正方形面积为 根号3 x 根号3=3 ? : 有了上面那个解释 : 我们才可以推到任意长和宽的长方形面积=长x宽.....thx~~ --

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