作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
标题[中学] 正方形面积疑问~~
时间Thu Sep 3 19:56:16 2020
我们定义 边长为1单位的正方形面积=1
长方形的长=6 宽=3
我们可以把此长方形的长切6等份 宽切3等分
那麽就可以形成6x3个面积为1的正方形
所以此长方形面积=6x3=18
我想请问的是 那要如何解释边长为根号3的正方形面积为 根号3 x 根号3=3 ?
有了上面那个解释
我们才可以推到任意长和宽的长方形面积=长x宽.....thx~~
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1F：推 hwanger : 这种东西其实最低限度应该用volume of jordan regio 09/03 19:59
2F：→ hwanger : n想才对 囧 09/03 19:59
3F：推 hwanger : 在volume of jordan region中 先定义sum of retangl 09/03 20:06
4F：→ hwanger : e(此时retangle的长x宽并不是volume的定义) 然後你 09/03 20:06
5F：→ hwanger : 再证明一个长方形 在任意一个网格越切越细的情况下 09/03 20:06
6F：→ hwanger : sum of retangle会收敛到该长方形的长x宽 09/03 20:06
7F：推 hwanger : 当然这个是没办法讲给中学生听的 冏 考虑一个 a by 09/03 20:25
8F：→ hwanger : b的长方形 你应该能感觉出a乘1的长方形应该是1乘1的 09/03 20:27
9F：→ hwanger : 长方形面积的a倍 而a乘b的长方形面积应该是a乘1的长 09/03 20:28
10F：→ hwanger : 方形的b倍 这种相比的倍数应该相乘 所以a乘b的长方 09/03 20:30
11F：→ hwanger : 形的面积应该是1乘1长方形的ab倍 09/03 20:30
12F：→ hwanger : 比方说 对4/3乘7/4的长方形而言 4/3乘1的矩形面积应 09/03 20:32
13F：推 hwanger : 该要是1乘1方形的4/3倍(把1x1的方形摆入4/3x1的矩 09/03 20:34
14F：→ hwanger : 形内 对齐三边) 同样地4/3乘7/4的长方形面积应该是 09/03 20:35
15F：→ hwanger : 4/3x1的7/4倍 而B:A=4/3 C:B=7/4 09/03 20:37
16F：→ hwanger : 所以C:A=(4/3)(7/4) 其中A为1乘1的矩形面积 09/03 20:38
17F：→ hwanger : B为4/3乘1的矩形面积 C为4/3乘7/4的矩形面积 09/03 20:39
18F：推 hwanger : 而你又定义1乘1的方形面积是1 所以他的(4/3)(7/4)倍 09/03 20:42
19F：→ hwanger : 就是(4/3)(7/4) 刚好就是长x宽 09/03 20:42
20F：推 hwanger : 就你的例子而言 你应该先思考为何√3x1的长方形面积 09/03 20:50
21F：→ hwanger : 为何是1x1方形面积的√3倍 再来思考为何√3x√3矩形 09/03 20:51
22F：→ hwanger : 面积是√3x1面积的√3倍才对 09/03 20:51
23F：推 Vulpix : 这个问题是好的问题。你的√3是一个「实数」（纯代 09/04 00:03
24F：→ Vulpix : 数的√3与-√3无法区分彼此，也无法直接与几何连结 09/04 00:03
25F：→ Vulpix : ），所以不论是哪一个定义，都要视为一堆有理数的 09/04 00:03
26F：→ Vulpix : 极限或边界。那计算那个乘法的方法就是拿有理数来 09/04 00:03
27F：→ Vulpix : 算，再算极限，这是实数乘法的「定义」。你会觉得 09/04 00:03
28F：→ Vulpix : 自己无法解释，是因为你甚至没有学过怎麽定义实数 09/04 00:03
29F：→ Vulpix : 的乘法。毕竟想要自然地学会用数字，就不能走公理 09/04 00:03
30F：→ Vulpix : 定义定理那套XD 09/04 00:03
31F：→ Vulpix : 其实所有的回覆内容讲的都是这件事。 09/04 00:04
32F：推 hwanger : 大部份的实数(更准确的说大部份的无理数) 正如V大所 09/04 07:34
33F：→ hwanger : 说 必须回归到实数的定义上 才能精准的描述其行为 09/04 07:36
34F：→ hwanger : 这里比较冏的是√3是Constructible 所以可以和欧几 09/04 07:38
35F：→ hwanger : 里德几何做连结 而不用考虑用有理数逼近这种想法 冏 09/04 07:40
36F：推 hwanger : 更进一步 单就几何上 我们是可以定义两个线段加减 09/04 07:56
37F：→ hwanger : 乘除的线段为何(换成代数语言 就是所有constructabl 09/04 07:56
38F：→ hwanger : e numbers的集合形成一个field) 09/04 07:56
39F：推 hwanger : 但比较不幸的是 长度ab的线段与长度1的"倍数关系" 09/04 08:10
40F：→ hwanger : 和 axb矩形与1x1方形面积的"倍数关系"是没有几何 09/04 08:10
41F：→ hwanger : 直观 此时就必须全部回归到实数的定义上 09/04 08:10
42F：推 hwanger : 延伸一个有趣的问题 √3x√3和3x1的矩形都是可以尺 09/04 08:34
43F：→ hwanger : 规作图作出来的 那他们面积相同是可以用欧式几何(譬 09/04 08:35
44F：→ hwanger : 如说采用Hilbert公设集)证出来的吗? 09/04 08:37
45F：推 Vulpix : 如果是用可作数的概念，那就至少要接受相似形啊XD 09/04 13:51
46F：→ Vulpix : 有相似形在，那√3*√3也不是什麽问题了。 09/04 13:52
47F：推 hwanger : ???那问题就会回到为何图形边长放大a倍 面积会放大 09/04 14:10
48F：→ hwanger : a^2倍的问题呀 冏 09/04 14:11