作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
标题[中学] 同余问题....
时间Mon Aug 24 16:16:27 2020
1. 2003=x^2 + y^2 没有整数解
看解答没问题.....但是想知道对於同余的题目
要如何思考 或是根据甚麽脉络可以来决定使用 模多少?
例如说此题是使用 模4
2. 1599=x1^4 + x2^4 + x3^4 +.....+x14^4 没有整数解
想了很久 想要用模16
但是遇到困难
1599同余-1 或 15 (mod 16)
xi同余 0 +-1 +-2 +-3 +-4 +-5 +-6 +-7 8 (mod 16)
xi^4同余 0,1,4,9 (mod 16)
接下来如何说明14个xi 相加不会等於15 对於模16 ?
还是我取的模16不够好 有更好的??
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1F：→ Ricestone : 有4跟9吗？ 08/24 16:32
2F：→ harry921129 : 楼上一语惊醒梦中人,确实没有4,9..那我没问题了,谢 08/24 16:39
3F：推 hwanger : 关於第一点 你可能可以针对变数个数少及次数较低的 08/24 23:03
4F：→ hwanger : 情况做一些经验的归纳 08/24 23:03
5F：→ hwanger : 也许是我见识浅薄 不过针对一般多元多次方程 目前应 08/24 23:04
6F：→ hwanger : 该是没有"快速"的通用算法用来判定该用哪个数字来作 08/24 23:05
7F：→ hwanger : 模(Maybe you can find one or prove that there is 08/24 23:05
8F：→ hwanger : no such one) 08/24 23:06
9F：→ hwanger : 当然一些代数或代数数论的技巧在分析该用何数作模时 08/24 23:06
10F：→ hwanger : 是很有用的 例如在你的第二点的例子中 因为2^4=16 08/24 23:06
11F：→ hwanger : 并且Z/16Z的乘法群同构於(Z/2Z)x(Z/4Z) 所以当取模 08/24 23:06
12F：→ hwanger : 16时 所有偶数的四次方都同余於0 所有奇数的四次方 08/24 23:07
13F：→ hwanger : 都同余於1 (你第一点取模4也是类似的结论 实际上我 08/24 23:07
14F：→ hwanger : 们可以推广到模2^n的情况) 08/24 23:07
15F：推 hwanger : 另外处理这类Diophantine equations 当其次方都是偶 08/24 23:09
16F：→ hwanger : 数时 有时用程式硬算验证其实也是一种高效率的作法 08/24 23:10