作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] 循环子空间
时间Sun Aug 23 23:52:54 2020
https://i.imgur.com/8DtFwjm.jpg
这边想问下
第一个没办法形成eigenspace 直和的原因是 定义域缩小到W 所以不够生成整个V吗？
如果改成W=eigenspace的直和会对吗
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1F：推 hwanger : 虽然是你的笔记 但我以下会重新解读 08/24 00:40
2F：推 hwanger : 第一行到第三行 "令"W为V中所有对应到eigenvalue la 08/24 00:47
3F：→ hwanger : mbda的eigenvectors所形成的集合 08/24 00:47
4F：→ hwanger : 则1. W是一个ㄒ的不变子空间 2.随意找一组W的基底 08/24 00:47
5F：→ hwanger : 则T在这组基底下的矩阵表示是 (lambda)I 其中I是 08/24 00:47
6F：→ hwanger : 单位矩阵 08/24 00:47
7F：推 hwanger : 第四行和W无关 纯粹讲一个结论 08/24 00:52
8F：→ hwanger : 一般而言 就算我们的field是closed field 我们也无 08/24 00:52
9F：→ hwanger : 法将V写成eigenspaces的直积 有以下几点观念 08/24 00:52
10F：推 hwanger : 1. 假设是closed field(一般初学就是指C) 我们总是 08/24 01:02
11F：→ hwanger : 会有eigenspaces可直和成一个V的子空间 令为U 但U通 08/24 01:02
12F：→ hwanger : 常不是V 而我们会开始考虑generalized eigenvectors 08/24 01:02
13F：→ hwanger : 2. 续1 U=V的充要条件是 T的minimal polynomial无 08/24 01:02
14F：→ hwanger : 重根 08/24 01:02
15F：→ hwanger : 3. 若不是closed field 且T的特徵多项式无法分解成 08/24 01:02
16F：→ hwanger : 一次式 则我们开始考虑rational form 08/24 01:02
17F：推 hwanger : 第六 第七行 "令"W为小v所生成的cyclic space 并令b 08/24 01:13
18F：→ hwanger : eta为相对应的cyclic basis 则1. W是T的一个不变子 08/24 01:13
19F：→ hwanger : 空间 2. T相对於beta的矩阵表示是其对应的companion 08/24 01:13
20F：→ hwanger : matrix 08/24 01:13
21F：推 hwanger : 第8行和W无关 纯粹讲另一个结论 08/24 01:18
22F：→ hwanger : 不论field是否closed 或T的特徵多项式是否splited 08/24 01:18
23F：→ hwanger : 总是"存在"一组向量v1,v2,...,vr 使得V是其相对应 08/24 01:18
24F：→ hwanger : 的cyclic spaces的直和 08/24 01:18
25F：推 hwanger : 这里有个观念很重要 就是前述结论是说"存在一组" 08/24 01:24
26F：→ hwanger : 而不是任意选一组 08/24 01:24
27F：→ hwanger : 实际上当你随便选两个cyclic subspaces 他们有可能 08/24 01:24
28F：→ hwanger : 互不包含且有非零的交空间 08/24 01:24
29F：推 hwanger : "第一个没办法形成...">>>如前所述 可能是特徵多项 08/24 01:29
30F：→ hwanger : 式没办法分解成一次式相乘 或者无法选出一组由eigen 08/24 01:29
31F：→ hwanger : vectors构成的基底(此时要开始用generalized eigenv 08/24 01:29
32F：→ hwanger : ector 并考虑Jordan form) 08/24 01:29
33F：推 hwanger : 你可以思考这个例子 T(x,y) = (x+y,x) where x,y ar 08/24 01:36
34F：→ hwanger : e real numbers 08/24 01:36
35F：→ hwanger : "如果改成W=...">>>W是dummy notation 在前半段代 08/24 01:36
36F：→ hwanger : 表一个eigenspace 在後半段代表一个cyclic subspace 08/24 01:36
37F：→ hwanger : 所以我不懂你要问啥 08/24 01:36
38F：推 hwanger : 上面的例子打错 应该是T(x,y)=(x+y,y) 08/24 01:45
39F：→ NTUmaki : 我其实只是想问说 原本我想说 可对角化等价於V=每个 08/24 01:46
40F：→ NTUmaki : eigenspace的直和 但这边竟然没成立 所以我想问题是 08/24 01:46
41F：→ NTUmaki : 不是出在那个W ? 08/24 01:46
42F：→ NTUmaki : 抱歉==你讲的很多名词术语我都没听过..整篇下来看不 08/24 01:56
43F：→ NTUmaki : 太懂，我学的很浅 问题就主要在我以为那个直和等式 08/24 01:56
44F：→ NTUmaki : 跟可对角化是等价的 08/24 01:56
45F：推 hwanger : ok 那我们就限定在前四行看就可以了 08/24 07:19
46F：→ hwanger : 第一行到第三行是描述说 如果W是T的eigenspace 对 08/24 07:19
47F：→ hwanger : 应到eigenvalue lambda的话 则T"限定"在W上的矩阵 08/24 07:19
48F：→ hwanger : 表示永远是单位矩阵的lambda倍 08/24 07:19
哦哦！原来是这个意思 我以为W那样取就是所有的eigenspace，所以原来是指某个特徵值对应的..所以一定是单位矩阵倍数
49F：推 hwanger : 这里W就是其中一个eigenspace 所以「如果改成W=eige 08/24 07:23
50F：→ hwanger : nspace的直和会对吗」这句话怪怪的 08/24 07:23
51F：推 hwanger : 然後你说的「可对角化等价於V=每个eigenspace的直和 08/24 07:32
52F：→ hwanger : 」这句话是对的 但你前三句并没有假设T在V上可对角 08/24 07:32
53F：→ hwanger : 化 你前三句单纯只是说 当你的T "限定" 在某个 "固 08/24 07:32
54F：→ hwanger : 定" 的eigenspace时 则他是identity map的常数倍 08/24 07:32
55F：推 hwanger : 第四句则是重新给你一个结论 "V未必是所有eigenspac 08/24 07:48
56F：→ hwanger : es的直和" 也就是说T未必是可对角化的 08/24 07:48
57F：→ hwanger : T限定在某一个子空间上可对角化 未必在全空间上可 08/24 07:48
58F：→ hwanger : 对角化 08/24 07:48
59F：→ hwanger : 可以考虑这个例子 T:R^4→R^4 定义为T(x,y,z,w)=(x, 08/24 07:48
60F：→ hwanger : y+z,z,2w) 08/24 07:48
61F：→ hwanger : 此时V是R^4 且T有两个eigenvalue 1和2 08/24 07:48
62F：推 hwanger : 令W为span{(1,0,0),(0,1,0)} 则W是对应到eigenvalue 08/24 07:52
63F：→ hwanger : 1的eigenspace 且T限定在W上, T_W(T下标W)是W上 08/24 07:52
64F：→ hwanger : 的identity map 所以这个restriction是可对角化的 08/24 07:52
65F：推 hwanger : 但是T在V上不能被对角化 而且V也不是V(1)和V(2)的 08/24 07:55
66F：→ hwanger : 直和(因为V(1)是2维的 V(2)是1维的 加起来不可能到4 08/24 07:55
67F：→ hwanger : 维) 08/24 07:55
68F：推 hwanger : 打错 令W为span{(1,0,0,0),(0,1,0,0)} 08/24 07:58
※ 编辑: NTUmaki (39.12.43.66 台湾), 08/24/2020 10:18:56
69F：→ NTUmaki : 完全懂了..我应该是把eigenspace搞错 我以为W那样取 08/24 10:22
70F：→ NTUmaki : 是指所有的eigenspace的和空间..所以我以为对角的la 08/24 10:22
71F：→ NTUmaki : mbda都是相异的（所以beta 任意取 因为都在同一个特 08/24 10:22
72F：→ NTUmaki : 徵值对应的eigenspace 因此出来对角都是同一个特徵 08/24 10:22
73F：→ NTUmaki : 值） 08/24 10:22
74F：→ NTUmaki : 非常感谢用心解说 还举例>< 08/24 10:22
75F：推 hwanger : 看起来你只是符号混淆了 在直和上并没有类似於 08/24 11:30
76F：→ hwanger : Einstein summation convention的概念 V(lambda)就 08/24 11:31
77F：→ hwanger : 是对应到一固定lambda的eigenspace 和第四行的符号 08/24 11:32
78F：→ hwanger : 是一致的 并没有自动sum over all possible lambda 08/24 11:34
79F：推 a84172543 : 我的直观是...一个特徵值of V 08/25 01:34
80F：→ a84172543 : 所产生的特徵向量 08/25 01:34
81F：→ a84172543 : 要看有没有满足 08/25 01:34
82F：→ a84172543 : 代数重数=几何重数 08/25 01:34
83F：→ a84172543 : a.m.(入)=g.m.(入) 08/25 01:34
84F：→ a84172543 : 仅考虑eigenapace 08/25 01:34
85F：→ a84172543 : 不考虑 generalized eigenspace 08/25 01:34
86F：推 a84172543 : 然後我觉得先厘清 08/25 01:39
87F：→ a84172543 : 特徵值所对应的特徵向量数量 08/25 01:39
88F：→ a84172543 : （也得找到一下Jardon form) 08/25 01:39
89F：→ a84172543 : 那麽掌握就可以 直观 直和了 08/25 01:39
90F：→ a84172543 : #找到->知道 08/25 01:40
91F：推 ruj9vul3 : 看你的特徵向量个数有没有足够支撑你的特徵值的重 08/26 17:44
92F：→ ruj9vul3 : 次 08/26 17:44