作者meichiang (美江)
看板Math
标题[微积] 开区间收敛问题
时间Thu Aug 20 14:25:14 2020
想请问一下 if Y is open subset of B
and a function f: A->B is continuous
Does a sequence （a_n ）in f^(-1)(B)
Always converge to limit outside f^(-1)(B)
Always converge to limit in f^(-1)(B)
Always converge either limit outside f^(-1)(B) or not converge
Always converge either limit in f^(-1)(B) or not converge
Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B) or not converge
Not converge
以上就原题 我之後会在问一下教授 但他的确定义不明 所以都有可能
开区间我是觉得 一个答案是不会收敛 另一个答案
是 收敛在区间外 因为 开区间的话 f^(-1)(B) 这点没
定义 所以如果收敛在开区间外
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.11.131.30 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1597904716.A.FE1.html
1F：推 hwanger : B是集合?An是什麽?和Y有啥关系?完全看不懂你想表达08/20 16:01
2F：→ hwanger : 什麽 囧08/20 16:01
我把题目重打了一下
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 16:16:10
3F：推 hwanger : 囧 你只是中文翻成英文呀08/20 16:20
定义一个开区间B
我觉得题目是在问 A映射到B 是连续的函数 里面 一个序列 B的inverse 函数 会不会收
敛到一个值 或是他收敛的范围在哪
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 16:31:32
4F：推 hwanger : Ok B和an看起来至少合理多 先不管Y是要干嘛的 你ab08/20 16:42
5F：→ hwanger : 选项是什麽意思?? 冏08/20 16:43
6F：→ hwanger : 如果有原题目 要不要把原题目打上来08/20 16:43
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 16:48:58
抱歉 这题目感觉有点不清楚 我自己都看不懂...
朋友是说是高微的东西
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 16:53:03
7F：→ hwanger : 没关系 就算是实变的东西你也还是可以把题目打上来08/20 16:54
8F：推 hwanger : 发现你有修改ab选项 只是还是看不懂 冏08/20 16:58
9F：→ meichiang : 这原题了.... 我也看不懂 感觉有漏写条件08/20 16:58
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 16:59:45
10F：推 hwanger : 原题是中文??08/20 17:02
原题英文 但我选项 中的 always converge to 改成永远收敛 至於题目部分就是上述那
些
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 17:04:30
11F：推 cuylerLin : 感觉那个数列应该要是在Y里面才对08/20 17:19
12F：→ cuylerLin : 然後问把它拉回来的收敛会在哪里 08/20 17:19
13F：→ cuylerLin : 所以 the preimage (one subset of the codomain th08/20 17:19
14F：→ cuylerLin : at is open) of a continuous function is still op08/20 17:19
15F：→ cuylerLin : en，而你拉回来的极限有可能在边界上，所以就不在 p 08/20 17:19
16F：→ cuylerLin : reimage 里面（在 ∂f^{-1} (Y)），但也有可能在 pr08/20 17:19
17F：→ cuylerLin : eimage 里面08/20 17:19
18F：→ cuylerLin : 应该也是可以造出一些例子让它不收敛；所以这样来看 08/20 17:21
19F：→ cuylerLin : 的话有 always 08/20 17:21
20F：→ cuylerLin : 的都不能选才对 08/20 17:21
21F：推 hwanger : 同c大看法 我个人还是希望能把原题完整po出来 才能08/20 17:28
22F：→ hwanger : 更明确指出原题疏漏在哪08/20 17:28
这几个选项
Always converge to limit outside f^(-1)(B)
Always converge to limit in f^(-1)(B)
Always converge either limit outside f^(-1)(B) or not converge
Always converge either limit in f^(-1)(B) or not converge
Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B) or not converge
Not converge
※ 编辑: meichiang (39.11.131.30 台湾), 08/20/2020 17:31:21
23F：推 cuylerLin : 答案应该是第五个选项吧，所以从头到尾都没用到Y（ 08/20 17:36
24F：→ cuylerLin : ？ 08/20 17:36
25F：推 hwanger : "Always converge in f^(-1)(B), outside f^(-1)(B) 08/20 17:37
26F：→ meichiang : 但为何会收敛到limit in f^(-1)(B) 这里啊 我觉得是 08/20 17:37
27F：→ meichiang : outside 跟 not converge 08/20 17:37
28F：→ hwanger : or not converge" 这个 就这样 BTW open subset不是 08/20 17:38
29F：→ hwanger : 开区间的意思 就算你AB都是实数线 也不是开区间 08/20 17:39
30F：→ meichiang : 但为何是会在 limit in f^(-1)(B) 08/20 17:40
31F：→ cuylerLin : 如果 f^{-1}(B)（或者我觉得应该是f^{-1}(Y)）是 co 08/20 17:43
32F：→ cuylerLin : mpact 且 f^{-1} 也是连续的话就会在里面08/20 17:43
33F：→ cuylerLin : 真是奇怪的题目（08/20 17:43
34F：→ cuylerLin : 换句话说，题目条件很松散的情况下，就什麽可能都会08/20 17:45
35F：→ cuylerLin : 发生，在里面、不在里面、不收敛08/20 17:45
36F：→ meichiang : 但他没写compact 一样会在里面吗？08/20 17:46
37F：→ meichiang : 感谢各位大大08/20 17:51
38F：→ hwanger : 最後再回一下 你的问题已经跟f没关系了 假设你一个08/20 18:11
39F：→ hwanger : 在(-5,5)之间的数列 你觉得这个数列有没有可能收敛08/20 18:13
40F：→ hwanger : 到(-5,5)之间 比如说{1/n}?08/20 18:14
41F：→ hwanger : 以下的建议纯粹是我的杂念 可以不用管我08/20 18:15
42F：→ hwanger : 我现在才发现你和上一篇是同一作者 如果你遇到你无08/20 18:17
43F：→ hwanger : 法理解的题目 最好是直接将原题目po出来(哪怕是英文08/20 18:17
44F：→ hwanger : ) 接着再讲述你的想法 你无法理解题目的哪里 以及你08/20 18:19
45F：→ hwanger : 真正的问题点 必要时可以再补充自己的程度到哪 08/20 18:20
46F：→ hwanger : 老实说 你已经无法理解题目了 你却要我们去理解你无 08/20 18:21
47F：→ hwanger : 法理解後的产物 这只会造成我们讲我们的 你还是听不 08/20 18:23
48F：→ hwanger : 懂 甚至有可能大家都看不懂 所以就懒得回你了 08/20 18:24
49F：推 hwanger : 譬如说你这篇 你的选项的中文翻译已经和原本的题意 08/20 18:26
50F：→ hwanger : 完全不一样了 你只是想单纯让大家赞同你的看法 可是 08/20 18:28
51F：→ hwanger : 没想到我还是看不懂你的看法(因为我连题目也看不懂) 08/20 18:28
52F：推 hwanger : 你都愿意修改这麽多次了 一开始就把题目po出来不好 08/20 18:31
53F：→ hwanger : 吗? 而且版上能人都是能直接看英文的 我找不到理由 08/20 18:32
54F：→ hwanger : 你非得用你的见解翻成中文才行08/20 18:34
55F：→ hwanger : 以上只是我浅薄的看法 如果冒犯到你 很抱歉08/20 18:35
56F：→ meichiang : 了解了 不好意思麻烦了 下次会改进的 感谢你h大08/20 18:38
57F：推 hwanger : 最後再修正一下c大的讲法 不用compact 只要closed就08/20 18:40
58F：→ hwanger : 好了 更准确的说 If A,B are metric spaces, and Y08/20 18:41
59F：→ hwanger : is a closed subset of B, then for every sequence08/20 18:42
60F：→ hwanger : in f^(-1)(Y), it either converges in f^(-1)(Y)08/20 18:43
61F：→ hwanger : or diverges.08/20 18:43
62F：推 hwanger : Here f:A→B is a continuous function, and "a08/20 18:47
63F：→ hwanger : sequence converges in f^(-1)(Y)" means that it08/20 18:47
64F：→ hwanger : converges in A and its limit is in f^(-1)(Y).08/20 18:48
65F：→ meichiang : c这段我了解 但在 open subset 这个定义下 我以为是08/20 18:52
66F：→ meichiang : 开集的意思 所以即使由极限收敛 回一个反函数 我以08/20 18:52
67F：→ meichiang : 为那个数应该落在端点 但端点不是在 开集里 所以我 08/20 18:52
68F：→ meichiang : 一开始认为是 converge outside 跟 not converge 08/20 18:52
69F：推 hwanger : 考虑identity map I:(-5,5)→(-5,5) 并考虑{1/n}在 08/20 18:59
70F：→ hwanger : I^{-1}(-3,3)之间 为什麽收敛的数列只能收敛到端点? 08/20 19:00
71F：→ meichiang : 了解了 感谢大大 08/20 19:10
72F：推 hwanger : 一样是murmur 如果你一开始就po出原题 那你原本最重 08/20 20:11
73F：→ hwanger : 要的问题(我认为你想知道why it converges inside) 08/20 20:11
74F：→ hwanger : 在一个小时内就会得到版上能人的解答 我不懂为何你 08/20 20:13
75F：→ hwanger : 要挤牙膏式的释出讯息 只能怪我一时手贱回了你 冏 08/20 20:14
76F：→ njru81l : 建议原po拍个照，那个Y到目前为止都没整用途，理解08/20 21:10
77F：→ njru81l : 转述的过程，可能还有漏掉其它讯息08/20 21:10
78F：推 LPH66 : 这状况其实已经有点接近 XY problem 了08/21 02:06
79F：→ LPH66 : 只是这比 XY problem 还令人抓狂(?)的点在於08/21 02:06
80F：→ LPH66 : XY problem 还只是发问者问了大问题的细节而已08/21 02:06
81F：→ LPH66 : 这状况原 PO 所理解的细节又支离破碎08/21 02:07
82F：→ LPH66 : 所以我们这些外人就连大问题可能在问什麽都要拼凑08/21 02:07
83F：推 hwanger : 冏 建议原po去查L大所说的XY problem L大说得没错08/21 03:18
84F：推 hwanger : 冏 我发现了我自己的一个盲点了 因为B自己永远是闭08/21 03:30
85F：→ hwanger : 集 所以在不知道Y是干嘛的情况下 答案应该是 "Alway08/21 03:30
86F：→ hwanger : s converge either limit in f^(-1)(B) or not conv08/21 03:30
87F：→ hwanger : erge" 你不可能找到一个convergent sequence 其极08/21 03:30
88F：→ hwanger : 限值落在f^(-1)(B)外面08/21 03:30
89F：→ hwanger : 前面我提供了错误的答案 很抱歉 08/21 03:30
90F：推 hwanger : 所以原题目只是要考f^(-1)(B)是闭集 以及闭集中数列 08/21 03:34
91F：→ hwanger : 的性质 然後Y只是诱饵??? 08/21 03:34
92F：→ meichiang : 如果是闭集 我了解 他会收敛到里面 或不收敛 但这题 08/21 05:18
93F：→ meichiang : 不是说是开集吗 08/21 05:18
94F：→ meichiang : 我原题已经都打上去了... 我其他朋友看了也说看不 08/21 05:22
95F：→ meichiang : 太懂再问什麽 感觉是题目漏给资讯 08/21 05:22
教授给的答案是 f^(-1)(B)=A which may or may not be open because Bray or may no
t be open A sequence 并不一定要收敛 或会收敛在里面 或外面
※ 编辑: meichiang (27.247.226.199 台湾), 08/21/2020 06:21:19
96F：→ cuylerLin : 教授说 f^(-1)(B)"=" A？！！？ 08/21 07:42
97F：推 TimcApple : 题意不清 就算一整串讨论下来也没有改善 08/21 08:10
98F：推 hwanger : 首先f:A→B 所以f^{-1}(B)自然就是A 接着假设原po已 08/21 08:21
99F：→ hwanger : 经把原题打上来了 可是你只说Y是B的open subset 08/21 08:21
100F：→ hwanger : B对自己还是closed set呀 08/21 08:21
101F：→ hwanger : 然後因为"原po已经把题目完整po上来了" 所以f的doma 08/21 08:21
102F：→ hwanger : in A已经是全空间了 跟本没有所谓的外面了 你要怎 08/21 08:21
103F：→ hwanger : 麽收敛到外面? 最诡异的是为什麽你的教授看得到外 08/21 08:21
104F：→ hwanger : 面 08/21 08:21
105F：推 hwanger : 补充一点 B对自己既是open也是closed 无法理解你的 08/21 08:26
106F：→ hwanger : 教授在说什麽 08/21 08:26
107F：→ hwanger : 还是有什麽原因 必须假设AB各自在一个更大的空间? 08/21 08:27
108F：推 hwanger : 原po说已经把原题打上来 我还重看了一下 还是昨天 08/21 08:33
109F：→ hwanger : 的状态呀 囧 08/21 08:33
110F：→ meichiang : 全文就是长那样..... 所以我也搞不懂教授在问啥.... 08/21 09:08
111F：推 hwanger : 那你方便去问你教授 从题目上来看 A已经是全空间了 08/21 09:38
112F：→ hwanger : 请问会怎样收歛到外面 是不是有假设A在一个更大的空 08/21 09:39
113F：→ hwanger : 间中 为啥要这样假设 08/21 09:39
114F：→ njru81l : 原po你的中英夹杂只有三个选项，後面全英文不只三个08/21 13:39
115F：→ njru81l : 选项。显然中英夹杂的不是题目全文。还是建议拍照传 08/21 13:39
116F：→ njru81l : 图08/21 13:39
※ 编辑: meichiang (27.247.226.199 台湾), 08/21/2020 13:48:14
117F：推 hwanger : 我一直不懂 为什麽原po一直把因为是开集合 所以 08/21 14:06
118F：→ hwanger : preimage是开区间这件事 08/21 14:06
119F：→ hwanger : 第一 题目本身从头到尾就没有把A当作实数或实数的子 08/21 14:08
120F：→ hwanger : 集合 就字面上的通常解释 f是一个介於两个拓扑空间 08/21 14:10
121F：→ hwanger : A,B的连续函数 因为又要讨论sequences 就大学程度而 08/21 14:11
122F：→ hwanger : 言 就是直接假设A,B是metric spaces 08/21 14:13
123F：→ hwanger : 因为"open subset"这个terminology的出现 加上题目 08/21 14:15
124F：→ hwanger : 又没特别标明 没有理由要去限制A,B是 R^n的子空间 08/21 14:16
125F：→ hwanger : 第二 就假设我们非得把A放在实数中好了 实数中的 08/21 14:18
126F：→ hwanger : open subsets并不是只有开区间 实际上我们有如下的 08/21 14:19
127F：→ hwanger : 定理 任何一个实数中的open subsets都是可数多个互 08/21 14:21
128F：→ hwanger : 不相交的开区间的联集 比如说(0,1)\{1/n: n in N} 08/21 14:22
129F：→ hwanger : 也是开集合 08/21 14:23
130F：推 hwanger : 第三 就单纯f: A→B这个notation而言 基本上是没有 08/21 14:27
131F：→ hwanger : 理由假设A是在更大的集合中 然後f只是partial 08/21 14:28
132F：→ hwanger : function 因为把A放进一个更大的空间这件事是无止尽 08/21 14:29
133F：→ hwanger : 的 那怕就是A就是实数线 我也可以把他放进同胚於单 08/21 14:32
134F：→ hwanger : 位圆的空间中 并且f仍然是连续的(只不过变成partial 08/21 14:34
135F：→ hwanger : function) 而且有些原本发散的数列开始可以收歛於实 08/21 14:36
136F：→ hwanger : 数线外 08/21 14:37
137F：推 hwanger : 如果f本来就是定义在更大的空间中 那我们约定成俗就 08/21 14:40
138F：→ hwanger : 是用 f|A 这种符号 08/21 14:41
139F：→ hwanger : 题外话 虽然有时候我们会任意扩大一个函数的 08/21 14:43
140F：→ hwanger : codomain而仍视作同一个函数 但如果你改了函数的 08/21 14:44
141F：→ hwanger : domain 基本上就不再是同一个函数了 原因很简单 我 08/21 14:45
142F：→ hwanger : 们定义函数是用函数的graph去定义的 你改了domain 08/21 14:46
143F：→ hwanger : graph的集合就不一样了 08/21 14:47
144F：推 TimcApple : A = R^2 那就没有 outside 了啊ow o 08/21 17:11
145F：推 hwanger : XD 实际上 R^n我们都可以放进同胚於S^n的空间中 甚 08/21 17:35
146F：→ hwanger : 至在拓扑学里有一个更一般的结果 不过偏离主题了 08/21 17:35
147F：→ hwanger : 只有compact set放进其他空间内没办法造成原本发散 08/21 17:35
148F：→ hwanger : 的数列突然收歛 XD 08/21 17:35
149F：→ njru81l : 如果这真的是原题全部了，那第三、四个选项的英文实 08/21 17:48
150F：→ njru81l : 在让我觉得散读：converge 後面的to消失了，either 08/21 17:48
151F：→ njru81l : ... or ...一个接名词，一个接动词。让我看了？？？ 08/21 17:48
152F：→ njru81l : 总不是我的英文太烂了吧？ 08/21 17:48
153F：→ njru81l : 回到数学部分，条件如此松散的状况，前面的讨论其实 08/21 17:48
154F：→ njru81l : 应该整结果了，就是这数列爱怎样就怎样，可以不收敛 08/21 17:48
155F：→ njru81l : ，也可以收敛在A中，如果有A是在另一个metric space 08/21 17:48
156F：→ njru81l : 的子集的话，那也可後收敛在 A外面(拿掉此metric s 08/21 17:48
157F：→ njru81l : pace 时，把A视为整个空间，此情况属於为发散)。 08/21 17:48
158F：→ wohtp : 欸，我们为什麽要讨论 f, A, B 的性质？ 08/21 18:40
159F：→ wohtp : 只要 f^-1(B) 有两个点以上，我就可以任意造出收敛 08/21 18:40
160F：→ wohtp : 与不收敛的 a_n 啊 08/21 18:41
161F：→ wohtp : 不知道 a_n 是什麽要从哪里讨论起 08/21 18:42
162F：推 hwanger : 同意n大两个观点 第一是英文的部份感觉是来乱的 第 08/21 20:24
163F：→ hwanger : 二是数学部份的结论 08/21 20:25
164F：→ hwanger : 回w大 其实我们一直都知道 a_n可能收歛可能发散 後 08/21 20:26
165F：→ hwanger : 来我自己争论的点是照题目来看 A是全空间 不可能收 08/21 20:27
166F：→ hwanger : 歛於外面 因为根本没假设所谓的外面 XDDD 08/21 20:29