作者TOMOHISA (YAMASHITA)
看板Math
标题[中学] 复数平面两点距离
时间Sun Aug 16 14:25:32 2020
请问这题竞赛题要怎麽做呢？
已知0<x,y<=π/2。
设z=(cosx/siny)+(cosy/sinx)i，满足|z|=2；
及w=(√x)+(√y)i。
求|z-w|的最大最小值。
--
感谢板上大神的讨论，整理如下：
原题目确认後是长度2求最大值，
但经板友分析原题可能很难计算，
若改问长度√2求最小值较好处理（？）
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 220.138.106.16 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1597559134.A.ECC.html
※ 编辑: TOMOHISA (220.138.106.16 台湾), 08/16/2020 14:26:51
1F：推 hwanger : 没有任何中学技巧的想法 XDD 不过如果z的长度是根号08/16 20:13
2F：→ hwanger : 2的话 就会异常好解08/16 20:13
3F：推 Vulpix : 如果 |z|=√2，虽说好解，但还是有些技巧。从这个08/16 20:33
4F：→ Vulpix : 角度来看，应该是√2没错了。08/16 20:34
5F：→ Vulpix : 因为2真的很难算。08/16 21:10
6F：推 opeminbod001: 该点在半径2 圆心原点的圆上 且08/16 23:58
7F：推 opeminbod001: 该点与原点连线斜率sin2y/sin2x 且08/16 23:59
8F：→ opeminbod001: w点和原点距离平方为x+y 是个圆不等式的范围 半径08/17 00:01
9F：→ opeminbod001: sqrt pi以内不含原点08/17 00:01
10F：→ opeminbod001: 用以上的z图形 w图形解最大最小值08/17 00:02
11F：推 opeminbod001: 忘了说 z点的距离平方值也要纳入08/17 00:11
12F：推 hwanger : 如果令 t*sin^2(x)=sin^2(y) t介於0到无穷大之间08/17 09:14
13F：→ hwanger : 代入|z|=2 则得到 sin(x)=√((1+t)/(1+4t+t^2))08/17 09:16
14F：→ hwanger : sin(y)=√((t+t^2)/(1+4t+t^2)) 所以x,y会是t的函数08/17 09:17
15F：→ hwanger : 进一步推得 w的可能值在复数平面上形成一条曲线 因08/17 09:20
16F：→ hwanger : 为w可以表示成t的连续函数08/17 09:20
17F：→ hwanger : 且不难看出 给定一个w 他所对应的z是唯一的08/17 09:22
18F：→ hwanger : 用 |z-w|^2 对t作图 可以看出应该有三个局部极值08/17 09:25
19F：→ hwanger : 理论上 我们只要求 |z-w|^2对t的全域极值就行了08/17 09:27
20F：→ hwanger : 但光是化简其导数到可以算出根就是一件极为冗长的事08/17 09:28
21F：推 hwanger : 我自己目前是解不出来 XDD 但如果|z|=√2 则t=008/17 09:32
22F：推 hwanger : 错了 不是得到t=0 是得到 x+y=pi/2 所以才异常好解08/17 09:34
23F：推 hwanger : |z=w|^2对t有三个局部极值似乎也合情合理 一个是108/17 11:29
24F：→ hwanger : 一个令为a 则1/a也是局部极值的发生点08/17 11:30
25F：推 hwanger : 而且仔细分析 因为x,y不为0 |z-w|没有最大值(?)08/17 12:54
26F：推 njru81l : 如果✓2的情况，结论同楼上：一个是定点整z=1+i，另08/17 21:51
27F：→ njru81l : 一个点在绝对值w=π/2的第一象限四分之一圆弧上，不08/17 21:51
28F：→ njru81l : 含端点。只最小值，无最大值08/17 21:51
29F：→ njru81l : 绝对值w漏掉根号08/17 21:52
30F：推 Vulpix : 楼上半径还要开根号。08/17 22:14
31F：推 hwanger : XD 我的分析是针对|z|=2 毕竟|z|=√2就只是四分之一08/17 23:51
32F：→ hwanger : 圆弧对单点的问题08/17 23:51
33F：推 hwanger : 在|z|=2的情况下 我将|z-w|^2表成t的函数(t>0) 然08/18 00:01
34F：→ hwanger : 後观察到这个函数会有三个局部极值发生在t=a,1,a^(-08/18 00:01
35F：→ hwanger : 1)08/18 00:01
36F：→ hwanger : 其中t=1是局部极大值而不是全域极大值 而a介於15和108/18 00:01
37F：→ hwanger : 6之间 且t=a和a^(-1)会发生全域极小值08/18 00:01
38F：→ hwanger : 至於全域极大值发生在0和无穷远点08/18 00:01
39F：推 Vulpix : 我是做了变数代换，u=cos(2x),v=cos(2y)，结果(u,v)08/18 00:04
40F：→ Vulpix : 还是得在一小条双曲线上。就懒得算了。08/18 00:04
41F：推 hwanger : 目前是想证明 「|z-w|^2代 t=a^(-1) (a^(-1)即|z-w|08/18 00:12
42F：→ hwanger : ^2的导函数在(0,1)区间的根)是无法用 "基本函数代08/18 00:12
43F：→ hwanger : 有理数或特殊值" 来表达的」08/18 00:12
44F：→ hwanger : 这样一来就说明|zl=2的情形不是中学生能解的08/18 00:12
45F：→ newversion : 中学生时期的高斯、欧拉 会解08/18 02:48
46F：推 hwanger : "如果"不能用elementary function 最好的情况是要08/18 06:16
47F：→ hwanger : 借助special function 最差的情况就是只能通过中间08/18 06:16
48F：→ hwanger : 值定理确定有解08/18 06:16
49F：推 TimcApple : 这题我记得 答案是无解08/18 08:35
50F：→ TimcApple : 设 z_1 = 2 cos(t) + i 2 sin(t)08/18 08:36
51F：→ TimcApple : 则 (x, y) 可以用 t 表示成曲线, t in [pi/6,pi/3]08/18 08:37
52F：→ TimcApple : 设 D = |z1-z2|^2, 作 D-t 图可看出08/18 08:38
53F：→ TimcApple : 最大值发生在 t = pi/6,pi/3 但这两点的 x, y08/18 08:39
54F：→ TimcApple : 不合条件（白圈） 因此 D 无最大值 本题无解08/18 08:39
55F：→ TimcApple : * t in (pi/6, pi/3)08/18 08:40
※ 编辑: TOMOHISA (220.138.106.68 台湾), 08/19/2020 09:48:22
56F：推 hwanger : 用 |z|^2 = 2 把所有的cos换成sin 就会得到 08/19 14:03
57F：→ hwanger : sin^2(x)+sin^2(y)=1 进一步推得 x+y=pi/2 08/19 14:04
58F：→ hwanger : 代回z 就得到不管x,y是啥 z=1+1i 08/19 14:05
59F：→ hwanger : 代到w 就会发现w的轨迹是半径为pi/2 圆心为0的四分 08/19 14:07
60F：→ hwanger : 之一圆弧(全在第一象限内 不含端点) 08/19 14:08
61F：→ hwanger : 写错了 半径是√(pi/2) 08/19 14:10
62F：→ hwanger : 所以最小值是2-√(pi/2) 08/19 16:09
63F：推 hwanger : 又写错了 是√2-√(pi/2) 08/19 16:13
64F：推 LPH66 : 为什麽只会得到 sin^2(x)+sin^2(y)=1 ? 08/19 16:50
65F：→ LPH66 : 我记得还有一个因数...我找找我的笔记纸 08/19 16:51
66F：推 LPH66 : 嗯, u^2-u^4+v^2-v^4=2u^2v^2 分解成 08/19 16:58
67F：→ LPH66 : (u^2+v^2)(u^2+v^2-1)=0 08/19 16:59
68F：→ LPH66 : 噢, 因为 x y 不会是零所以第一因数恒正... 08/19 16:59
69F：推 hwanger : 仔细看 才发现n大早就回答过了 囧 08/20 06:22