作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [分析] 多项式函数
时间Fri Jul 17 12:49:42 2020
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言：
: 设f(x),g(x),h(x)都是实系数多项式，
: 且满足对任意的实数x,y都有：
: (x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2 <= h(y) <= (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2
: 求所有可能的f(x),g(x),h(x)
:
先随便固定一个 x 来看，
那麽原式可以看成：y 的首一二次式 ≦ h(y) ≦ y 的首一二次式
同除以 y^2，再令 y→∞，得 lim h(y)/y^2 = 1。
所以 h(y) 是 y 的首一二次式。
设 h(y) = y^2 + ay + b，
则 (x-y)f(x) + x^2 + ax + b - xy + y^2 ≦ y^2 + ay + b，
整理一下，得 (x-y)( f(x)+x+a ) ≦ 0。
左式是 y 的最高一次式，图形是直线，所以斜率是 0，
即 f(x) = - x - a，
g(x) 的解法亦同。
所以 f(x) = g(x) = -x-a, h(x) = x^2+ax+b。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.160.35.63 (台湾)
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1F：推 TOMOHISA : 感谢V大~07/17 15:53
2F：推 alan23273850: 第二行到第三行感觉需要多做说明...07/17 16:27
其实还是需要一点点极限的概念。
但是本质和後面讨论直线斜率差不多。
※ 编辑: Vulpix (1.160.35.63 台湾), 07/17/2020 18:20:42