※ 引述《LPH66 ( )》之铭言： : 至於实际的函数例子的话 : 如果把这两个复特徵数写成极式, 递回的公式解就可写为 : {αcos[(π/4)x]+βcos[(-π/4)x]} + i {αsin[(π/4)x]+βsin[(-π/4)x]} : 若要符合原函数是 R→R 可取α=β, 这样虚部会消失 : 再改写 α+β=C 即可得到函数 f(x) = C*cos[(π/4)x] 满足 (改成 + 的) 原关系式 : 可以注意到原关系式只对间隔为整数的函数值设下条件 : 也就是说函数并不一定整条都是同一个 C*cos[(π/4)x] : 但间隔为整数的函数值因为关系式限制只会在同一条上 : 因此我们不能用特徵数解出来的函数去证明原函数是周期 (因为不止这些函数满足条件) : 只能由上面第二段这种由关系式推出来的关系去证明 : 推 Vulpix : 特徵值是解R/Z上一个coset上的方程，每个coset解一 06/23 17:54 : → Vulpix : 次。然後找周期的最大公因数。 06/23 17:54 : → LPH66 : 嗯, 最後几行其实就是说每个 coset 可以取不同解 06/23 18:08 : → musicbox810 : 如果是加上连续可微 是否就是解出来的cos函数? 06/23 23:55 : → musicbox810 : 一个coset上的方程，是什麽意思? 06/23 23:56 : → musicbox810 : 用特徵值解这种方程,没有唯一性吗? 06/23 23:57 : 推 Vulpix : 连续可微不够。 06/24 01:50 : → musicbox810 : 可以举例吗? 06/24 02:44 原题目的关系式是对间隔 1 的函数值之间的关系 我们把它当离散递回方程在解时其实只解了例如 x \in Z (所有整数时) 的取值 对於其他每一个 R/Z 的 coset 我们其实都可以解一次同样的递回方程 然後把所有这些状况各选一个合并起来就能得到一个符合条件的函数 (这正是我在第一篇文章的推文 将离散递回解出来的通式直接把整数变数 n 换成实数变数 x 来说它满足条件 这个「换成实数变数」的动作其实就是对每个 coset 都选取长得一样的函数出来而已) 这里其实也是一样的 也就是说, 我可以对不同的 coset 选取完全不一样的函数 这并不影响全部合起来时的函数是不是解 (例如对整数选 C=1, 对半整数选 C=-1, 对整数加 1/3 选 C=42, 等等等等 然後再全部合起来这样也可以) ==== Vulpix 说的取最小公倍数 (不是最大公因数 XD) 就只是最基本的让所有周期都满足的做法而已 这个题目里碰巧所有解的周期都是 8 (等一下会看到所有解长怎样) 因此不论怎麽选, 所求函数的周期都会是 8 但如果真要从这里做 就得真的把我这两篇解函数的内容 (含下面那一段) 全部重述一次才能得到周期是 8 ==== 说起来, 上面写的 C*cos[(π/4)x] 其实还不是 (在一个 coset 上的) 所有解: 通式整理一下可以写成这样 f(x) = (α+β) cos[(π/4)x] + i (α-β) sin[(π/4)x] 要让这函数的值域都是实数并不只有 α=β 一个方法 其充份必要条件是 α+β 是实数且 α-β 是纯虚数 (考虑 x=0 和 x=2 的函数值就能得到必要性, 充份性显然) 那整理叠合一下之後就会得到 (在一个 coset 上的) 所有解是 A*cos[(π/4)x+θ] 其中 A 和 θ 是两个常数 (它们可以用 α,β 表示, 这里就略过) (对, 这两个常数是故意用 A 和 θ 当名字的 XD) 那如果真的要写出所有解的话 每个 coset 都可以取它自己想要的 A 和 θ 若取 {x} (x 的小数部份) 做为 R/Z 的 coset 的代表元素的话 A 和 θ 就能写成一个 [0,1)→R 的函数 那麽所有的解就能写成 f(x) = A({x})*cos[(π/4)x+θ({x})] 这函数能够长怎样就随各人想像了 要连续可微也不难: 当 A 和 θ 重覆到整个 R 的图形都是连续可微时这函数也就会是 这里就给一个简单的「搞怪」例子: A 和 θ 都取 cos(2πx) (可以看到把 cos(2π{x}) 重覆到整个 R 就是 cos(2πx), 所以我就写成这样) 这样得到的 cos(2πx)cos(πx/4+cos(2πx)) 也符合原题条件, 而且显然连续可微 -- 1985/01/12 三嶋鸣海 1989/02/22 优希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町 つぐみ 欢迎来到 1994/05/21 高江ミュウ 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬 チサト 1998/06/18 守野くるみ 打越钢太郎的 1999/10/19 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遥 2002/12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱仓岳坠机 ∞与∫的世界 2011/04/02 茜崎空 启动 2012/05/21 第貮日蚀计画预定 2017/05/01~07 LeMU崩坏 2019/04/01~07 某大学合宿 --

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