数学中的field指的是某种代数结构.他是群(group)跟环(ring)概念的延伸. 所以先讲群比较简单 https://i.imgur.com/gnumzPe.png 群是在一个集合内赋予他运算.会满足三个原则 1-结合律2-单位元素 3-反元素 最简单的例子比如x^4=1的解1,-1,i,-i在乘法下就是群.你可以动手画个4x4表格看看 并观察,在对角线上下有对称性,把这种对群内都满足a*b=b*a称为交换群(abelian) note:不可交换群的标准范例Dihedral Groups.有兴趣可谷歌 .接着 把10以下跟10互质的数字找出来有: 1,3,7,9 在 mod10 的乘法下也会形成群,称U10 https://i.imgur.com/R4ylCGK.png 有没发现上面这个表格跟你之前画的很像呢?这种很像,用数学语言说法,叫做同构 (isomorphic),事实上,这两个都叫做循环群cyclic group,顾名思义就是这个群可以 仅用一个元素并对自己一直做运算去生成,而这元素就称为生成子(generator) 比如用i去乘法自己四次.就是你的表格 或用 3去乘法自己四次(mod 10).形成U10 事实上这两种群都跟Z_4同构. 有个有趣的问题,n在那些值时.使Un是循环群呢? 高斯给了答案: https://i.imgur.com/YjbLpA6.png 研究群的主题很多,比如subgroup/permutation/homomorphism/automorphism/ coset/factor group/simple group 等等. 再来对 环+体 做个定义: https://i.imgur.com/jEggFwq.png 简言之就是这个群他本身加法下可交换.成为了abelian.并且乘法下有结合律跟分配律的 话.他就进化了.变成Ring.而体(field)就是Ring在乘法里补上那些abelian在加法下 有的性质,在乘法下也来一套,进化成最完美的情况.也就是加入: 乘法单元+乘法反元素+乘法交换律. 总结一下体(field)满足在加法与乘法下有: 结合律: (a*b)*c = a*(b*c) 交换律: a*b=b*a 单位元素: 存在e使a*e=e*a=a {若*是加法则e=0,反之若*是乘法则e=1} 反元素: 对任意非0的a.存在b使a*b=b*a = e {类上有a+(-a) = 0 或axa^-1 = 1} 最後补上分配律.大功告成 要问-那体的样子是怎样?就像上述.在加法表跟乘法表下有双abelian的样子. 最早发现有限体内元素个数是p^n的有两位(p is prime)分别是Gauss跟Galois,为了纪念 Galois所发现Field.後世都简称GF(p^n).而n=2或以上都是用factor poly-ring去切出来的. 想知道的话.欢迎进入抽象代数的世界. 而n=1就简单多了.就是上面说的Up.比如把U3,U5,U7,U11....分别列出加法跟乘法表. 你就得到Field了 补充-下面是GF(9)在乘法下的样子.(加法easy就不列) https://i.imgur.com/Zc5OvDA.png 至於物理中的场?我想你可先把微积分+工程数学中的向量分析看看.就会了. 版上高手颇多.这就不介绍. --

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