（代PO）朋友没有PTT帐号，委托我代PO。原信如下： 虽然我没有去查 Erdos 究竟指的为何，但我认为他说的可能是 Paris-Harrington 定理 或 Goodstein 定理。Paris-Harrignton 定理跟拉姆齐理论有关，而 Erdos 本身就是这 领域的人，所以可能知道。Erdos 也可能会知道 Goodstein 定理，因为定理与图论有关 连，两位证明者将问题转化成图论问题，将 Goodstein 序列比喻成九头蛇，蛇头被斩下 还会再长出新的蛇头来，比原先多。此问题便在问海克利斯每次只能斩一个蛇头，那麽他 能否有朝一日砍完所有蛇头。(没很熟两个定理，所以有劳人进一步去查) 两个定理都已经被证明单凭 Peano 算术系统证不出来，非得靠更强的证明系统如 ZFC 系 统才可证出。既然 ZFC 系统能证出来，假若 ZFC 系统没有问题，不会不一致，那麽这两 个定理所言为真（一阶逻辑的健全性 soundness 所致）。这两个命题为真，但是 Peano 算术系统证不出来，这便是哥德尔不完备的实例。 接下来我想讨论 chemmachine 的说法，因为对我有些地方我不是很明白，所以可能有劳 chemmachine 说得详细一点。另外我对某些说法不是很满意，想要点出来讨论一下。 自身不可证伪的资料有：连续统假设。哥德尔定理，罗素悖论。 我觉得说「自身不可证伪」不是很妥当。因为就我解读，「伪」与「真假」有关，但证明 系统与真假无关，系统只是一堆符号的组合而已。我们所谓的证明就只是依照特定规则排 列符号而已，我们能排出或是排出，就仅此而已。证明无须牵扯真假，命题能否被证出与 命题是否真假需分别看待。命题有可能无法被证明或证明为否（取决於该证明系统形式如 何），但命题要不真要不就假。所谓的真假是後来所赋予，依一些共识赋予其意思。所以 我觉得说「自身不可证伪」不是很妥当。 以连续统假设 CH 为例。哥德尔便构造了一个满足 ZF 公设的数学结构，而那数学结构满 足连续统假设，所以根据一阶逻辑的健全性（如果系统能证出语句 φ，那麽 φ 会在每 个满足公设要求的结构都正确），ZF 无法证出 ~CH 。而哥德尔的学生柯亨便接手哥德尔 的工作，造出一个不满足连续统假设的数学结构，证明 ZF 无法证出 CH（同样跟健全性 有关）。连续统假设在每个数学结构要不真要不就假，ZF 系统的问题只是无法好好分开 这些结构，分成满足、不满足两类，让系统本身得以捕捉其中一类的特性就好。证明系统 也就因此无法证明 CH 或证明 ~CH 。 附注：其实到目前为止，我们还不知道 ZFC 的数学结构长的如何。虽然有些书会用 V 冯 纽曼宇宙指称这个结构，但是事实上这个结构太大不是个集合，不满足逻辑学家对 ZFC 数学结构的要求。如果我们真找到 ZFC 的数学结构，其实我们就证明了 ZFC 一致（可凭 一阶逻辑的健全性得出这结论）。所以这个问题仍旧搁置着。至於哥德尔与柯亨所作只是 给出集合论宇宙的部份结构，而这结构便能满足 ZFC 要求，并不是真的找到。现今这门 学问称作 inner model theory。 此外，「自身不可证伪」对我而言有点不太清楚。然後您举了连续统假设。哥德尔定理（ 是指不完备定理嘛？），罗素悖论作为例子。我不太理解三者与前述间的关系。可能有劳 您再解释一下。 连续统描述基数N^(j)<2^N 中间没有其他基数，N^j和 2^j基本是递回数字系统。指数是由乘积递回定义而来 乘积由加法递回定义而来。 我不确定是否有其它书这样写，但我所读的书(Enderton，Elements of Set Theory)并非 如定义： https://imgur.com/kNpIRiq 老实说，我有点好奇怎麽用递回定义基数，因为「能够递回」本身也要证明。以加法或乘 法的递回定义为例，Enderton 便是先证明有如是递回函数存在，再去定义其： https://imgur.com/MYgRABw https://imgur.com/ArbfeZV https://imgur.com/6doOKzC Enderton 便在书上（138页，Cardinal Arithmetic 一节）写道：「The approach（用递 回定理定义运算） is unsuitable here.」 就我解读，用递回定义基数运算会有些问题 ，因为这样需证明有如是递回函数存在。而这函数不单只是自然数上的递回函数而已，它 还得是超限递回函数（transfinite recursion function）。但除非能排序，否则没有道 理谈递回。然而就我所知，超限递回本身仅会用在序数上，不会用於基数。 我有三个问题有待解惑：「自身不可证伪」的明确意思为何；连续统假设、哥德尔定理、 罗素悖论与「自身不可证伪」的关系为何；能否用递回定义基数。有劳您能回答这些问题 了。 --

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