: Problem 20 : 原本搞出了曲率半径 R : (G0, G1, G2 在切点处的曲率半径皆相同) : 但那个太夸张了 只好把 R 的条件直接写出来 : 结果又变的太容易了qw q 单纯想谈曲率半径XD 其实高中物理意外(又不意外)地能把二次曲线的曲率半径算得很清楚。 最基本的式子就是：法线加速度 = 向「心」加速度 = v^2/曲率半径。 这个心是曲率中心－－曲率圆的圆心。 先说说抛物线。 高中物理接触到的抛物线有两类： 1. 抛体轨迹。 2. 抛物面镜。 从抛体轨迹方程式 y = x*tanθ - g*x^2/2(v*cosθ)^2 能看出 顶点的曲率半径 = 速率^2/法线加速度量值 = 领导系数的倒数的绝对值的一半。 所以 4c(y-k) = (x-h)^2 这种抛物线的顶点处的曲率半径就是 2|c|。 这个事实也可以从抛物面镜看出来，毕竟抛物面镜的球面镜近似， 其球心正好在主轴上与顶点相距两倍焦距处。 其他点的曲率半径，一样可以透过轨迹方程做出来， 切线方向要利用速度的时间函数式来决定。 再来说到椭圆，主要只看顶点处的曲率半径。 一般的切线方向比较麻烦一点，但透过伸缩变换， 可以从圆的切线做出椭圆的切线。 物理课上最有名的椭圆当然就是克卜勒第一定律了。 记太阳质量与行星质量各为 M, m， 已知近日距 r 和远日距 R 的话，总力学能 = -GMm/(r+R) = -GMm/长轴长。 从此可以计算出近日点的行星速率 = √2GM(1/r - 1/(r+R))， 一样利用法线加速度的公式， 近日点处的曲率半径 = 2GM(1/r - 1/(r+R))/(GM/r^2) = 2Rr/(r+R)， 这正是 半短轴长^2/半长轴长 这条公式。 另外短轴端点的曲率半径也可以类似地计算，得 半长轴长^2/半短轴长。 最後的双曲线比较尴尬一点， 毕竟物理课上比较算是有用到双曲线的地方在点波源的干涉图形。 但是这并不容易与弯曲联想在一起。 所以此处用了一个类克卜勒定律：有些星球的轨迹会是双曲线。 质量 m 的星体近日距是 d，此时速率为 v，飞到远处时以等速 u 运动。 因此力学能 = 0.5mu^2 = 0.5mv^2 - GMm/d， 整理得 v^2 - u^2 = 2GM/d。 另外根据角动量守恒，星体远离的直线与太阳之间的距离(半共轭轴长b) = vd/u。 采用惯用记号：焦距c、半贯轴长a。 可以列出方程：c-a = d, c^2-a^2 = b^2。 解得 a = (b^2-d^2)/2d = (v^2-u^2)d/2u^2 = GM/u^2。 则顶点处的曲率半径 = v^2/(GM/d^2) = (vd/u)^2/a = b^2/a。 ---------------- 虽然打了这麽多，不过只要有光学性质和一点极限的概念， 顶点处的曲率半径都能简单求得。 --

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