※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 6 : f(x), g(x) 皆为三次实系数多项式 : f(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 g(x) 的根 : g(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 f(x) 的根 : 设 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w : 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相关系数 : 以下图片仅供参考 : https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg 由於本题问的是相关系数， 因此对图形平移、伸缩并不影响答案，以下会用到相关技巧。 Solution to Problem 6 <Sol 1> 考虑 f 的两极值点 a, b 的位置 (case 1) a = u, b = w, 此时 g 的两极值点都只能对 s, 矛盾 (case 2) a = u, b = v (case 3) a = v, b = w 其实 case 2 和 case 3 是一样的，只要交换 f 和 g 就好 不失一般性，设 t 为 f 和 g 的最大根 f: r s t ↓ ↑ ↓ ↑ g: u v w 由相关系数特性，透过平移可设 t = 0 首项系数本来就能随便设，设 f 的首项系数为 1，g 的首项系数为 3 f(x) = x^3 + bx^2 + cx f'(x) = 3x^2 + 2bx + c g(x) = (x + k)(3x^2 + 2bx + c) = 3x^3 + (3k+2b)x^2 + (2bk+c)x + ck g'(x) = 9x^2 + (6k+4b)x + (2bk+c) 由上图可知 g'(x) 的两根为 r, s，因此不为 t = 0 比较系数可得 6k + 4b = 9b 2bk + c = 9c b = (6/5)k c = (3/10)k^2 由相关系数特性，可沿 x 轴伸缩，因此可设 k = 10, b = 12, c = 30 f(x) = x(x^2+12x+30) g(x) = 3(x+10)(x^2+8x+10) f 三根为 -6-√6, -6+√6, 0 g 三根为 -10, -4-√6, -4+√6 由相关系数特性，将两组根的平均移至 0 可得 -2-√6, -2+√6, 4 以及 -4, 2-√6, 2+√6 sum xi yi = 6 + 12√6 sum xi^2 = sum yi^2 = 36 相关系数 = (1+2√6)/6 <Sol 2> 见 LimSimE 和 Vulpix 的回覆 另外据 Vulpix 表示，有根与系数的解法 --

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