这一题也很有趣，分享想法和步骤 但是细节懒得写，也懒得算相关系数。 可设f,g首项系数为1 则有 3g(x) = f'(x) l_1(x) ...(1) 3f(x) = g'(x) l_2(x) ...(2) 其中l_1, l_2为x+?型式之一次式。 然後这个题目就变成微分方程 想法1： (1)左右微分以後，得到g'=...代入(2)，得到一个g的线性二阶ODE 但是这个方法我做不出来。 想法2： 因为做不出来，就微分吧 (1)(2)之微分： 3g'=f''l_1 + f' ...(1') 3f'=g''1_2 + g' ...(2') 再微 3g''=f'''l_1+2f'' ...(1'') 3f''=g'''1_2+2g'' ...(2'') 这时突然有一个现象，那就是f'''=g'''=6，代入(1'')(2'')以後可以反解出f'',g'' 再带入(1')(2')反解出f',g'，最後代回(1),(2)，就解出f,g了 所谓解出f,g是表为l_1, l_2 之齐次3次式，可以分解为3个线性因式的乘积。 事实上其中一个因式已经有了，因此剩下的相当於解二次方程式。 那麽，f,g的3根是来自l_1 ,l_2 的根之定比例分点，故相关系数不变。 这时留下一个问题 那就是根据想法(1)，这是线性二阶ODE，要有2个线性独立解，那另一个解是甚麽？ 这时延续微分策略 3g'''=f''''l_1 + 3f''' ...(1''') 3f'''=g''''l_2 + 3g''' ...(2''') 这时发现 f'''' l_1 + g'''' l_2 = 0，可设 f''''=l_2 h, g''''=- l_1 h (这边假设l_1 =/= l_2) 则再微分一次可得 3g''''= (f''''l_1)' + 3f'''' -3h l_1 = (h l_2 l_1)' + 3 h l_2 -4 h (l_1+l_2) = h' (l_2 l_1) 这个可以分离变数，解出h=C (l_1 l_2)^-4。 再想办法对 l_2 h, l_1 h 连续积分4次，便可得到另一组f,g。 不过显然这组解是无法在l_1, l_2的根上可定义的 ※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 6 : f(x), g(x) 皆为三次实系数多项式 : f(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 g(x) 的根 : g(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 f(x) 的根 : 设 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w : 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相关系数 : 以下图片仅供参考 : https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg : ==================================================== : 题目本身就是提示ow o -- 代数几何观点！ Algebro-Geometrical Aspect! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.85.29.210 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589824299.A.BAD.html ※ 编辑: LimSinE (219.85.29.210 台湾), 05/19/2020 01:52:10