这一题真的满有趣的，分享一下我的作法 由题目假设f(x)=ax(x^2-1)，以下求出a使得图形满足相切条件，并解出交点坐标。 由旋转对称性知两曲线切於(u,v) (-v,u),(-u,-v),(v,-u)，此外两曲线又交於原点。 考虑两曲线之方程式y=f(x), -x=f(y) 联立可得 u, -u, v, -v, 0 都是 R(x)= f(f(x)) + x 之根 事实上R是9次式，由相切的条件知道所有的根就是u,u,-u,-u, v,v,-v,-v,0 因 R(x) = a*(ax(x^2-1))(a^2 x^2 (x^2-1)^2 - 1 ) + x 把x除掉之後，令t=x^2-1，则 4次式 g(t)=a^2t(a^2(t+1)t^2-1)+1的根为u^2-1, u^2-1, v^2-1, v^2-1 换言之 g(t) = 1-a^2t + 0t^2 + a^4t^3 + a^4t^4 为完全平方式可设为(1+?t+?t^2)^2 t^2系数为0，可得g(t) = (1-2st-2s^2t^2)^2 for some s 比较其他系数可得 a=sqrt(8), g(t)=(1-4t-8t^2)^2 其中u^2-1, v^2-1 为 1-4t-8t^2之2根 (-1+-sqrt(3)/4) u,v = sqrt(3+-sqrt(3))/2 ※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 1 : Γ1 为三次实系数多项式 y = f(x) : 有三根 -1, 0, 1, 首项系数为正 : Γ2 是 Γ1 以原点为轴心 逆时针旋转 90 度的图形 : 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 点 : 求两图形围成的面积（红色区域） : https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg : 注：本题不算真的有高中解法 : 　　因为使用「高中解法」解出的高中生 : 　　未必知道自己已经超出范围了XD : 　　简单来说，就是有个看起来像高中，但其实不是的做法 : ======================================================= : 大家好，接下来我打算在 ptt 贴一系列的数学题目 : 这些题目通常在 FB 会先贴一次，之後修改整理到这里 : ‧题目来源？ : 　多数是我的个人创作，最远可以追溯到高中时期。 : 　少数是别的地方看到的好题目，也可能出了雷同题。 : 　 : ‧为什麽要出题目？ : 　个人兴趣吧。 : 　一是为了表达对数学的看法、欣赏数学的美感 : 　有些题目光从叙述，就能体会到出题老师的用心 : 　能够看出出题老师到底想要考什麽，怎麽考 : 　我很希望自己是这样的出题老师，用题目来说话 : 　 : 　二是为了搞写题目的人（欸 : 　看到有人掉进预设陷阱的时候很舒压（不是 : 　 : 　所以我自己出的题目大致上有两种 : 　一种是题目本身或是解法很酷的题目 : 　另一种是挖好坑等人跳的题目 : ‧题目范围？ : 　偶尔微妙的超出高中一点点，远不及竞试题。 : 　尽管我自己会拿超出范围的技术来出题， : 　但我会确认至少有一个高中生看得懂的解法 : 　不过在不在范围内就难说了XD : ‧系列详细 : 　本系列每天晚上会出一篇，直到我手上没库存为止 : 　（但不排除会耍废忘记出） : 　三天之後，如果有空，我会打一篇参考解答（为了 P 币） : 　无论题目难度如何， : 　第一个回答正确答案的人，将赠予 100P : 　解法不限，用程式爆，网路抄答案，或是神骰大人都行 : 　欢迎提供任何建议，特别是有关出题方面的。 : 　可以猜猜看为什麽要这样出题，或是有什麽学生常见迷思 : 　有陷阱可以挖一定要告诉我ow o -- 代数几何观点！ Algebro-Geometrical Aspect! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.85.0.164 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589293729.A.D1B.html ※ 编辑: LimSinE (219.85.0.164 台湾), 05/12/2020 22:34:25