作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[其他] TC题 (1) 多项式/微积分
时间Mon May 11 20:42:28 2020
Problem 1
Γ1 为三次实系数多项式 y = f(x)
有三根 -1, 0, 1, 首项系数为正
Γ2 是 Γ1 以原点为轴心 逆时针旋转 90 度的图形
已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 点
求两图形围成的面积（红色区域）
https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg
注：本题不算真的有高中解法
因为使用「高中解法」解出的高中生
未必知道自己已经超出范围了XD
简单来说，就是有个看起来像高中，但其实不是的做法
=======================================================
大家好，接下来我打算在 ptt 贴一系列的数学题目
这些题目通常在 FB 会先贴一次，之後修改整理到这里
‧题目来源？
多数是我的个人创作，最远可以追溯到高中时期。
少数是别的地方看到的好题目，也可能出了雷同题。
‧为什麽要出题目？
个人兴趣吧。
一是为了表达对数学的看法、欣赏数学的美感
有些题目光从叙述，就能体会到出题老师的用心
能够看出出题老师到底想要考什麽，怎麽考
我很希望自己是这样的出题老师，用题目来说话
二是为了搞写题目的人（欸
看到有人掉进预设陷阱的时候很舒压（不是
所以我自己出的题目大致上有两种
一种是题目本身或是解法很酷的题目
另一种是挖好坑等人跳的题目
‧题目范围？
偶尔微妙的超出高中一点点，远不及竞试题。
尽管我自己会拿超出范围的技术来出题，
但我会确认至少有一个高中生看得懂的解法
不过在不在范围内就难说了XD
‧系列详细
本系列每天晚上会出一篇，直到我手上没库存为止
（但不排除会耍废忘记出）
三天之後，如果有空，我会打一篇参考解答（为了 P 币）
无论题目难度如何，
第一个回答正确答案的人，将赠予 100P
解法不限，用程式爆，网路抄答案，或是神骰大人都行
欢迎提供任何建议，特别是有关出题方面的。
可以猜猜看为什麽要这样出题，或是有什麽学生常见迷思
有陷阱可以挖一定要告诉我ow o
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.12.68.12 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589200950.A.487.html
1F：推 TOMOHISA : 推一个！感谢大神分享数学之美05/11 21:32
2F：→ chemmachine : 推05/11 21:50
3F：→ alan23273850: 想借问一下为什麽叫 TC 题05/11 21:53
不 我也不知道可以叫什麽...需要一个名字qw q
※ 编辑: TimcApple (101.12.68.12 台湾), 05/11/2020 22:53:13
4F：推 chemmachine : 给出一个不太完整的解答05/12 01:28
5F：→ chemmachine : 令y=ax(x-1)(x+1) 旋转90度可得-x=ay(y-1)(y+1)05/12 01:29
6F：→ chemmachine : 两式相除消去a可得x^2(x^2-1)+y^2(y^2-1)=005/12 01:29
7F：→ chemmachine : 将y=ax(x-1)(x+1)代入上式并提出公因式可得05/12 01:30
8F：→ chemmachine : 1+(a^2*x^2-a^2)(a^2*x^6-2a^2*x^4+a^2*x^2-1)=005/12 01:31
9F：→ chemmachine : 做代换x^2=t a^2=b代入得05/12 01:32
11F：→ chemmachine : b>8-> a^2>8 a必须满足某些条件才画得出四点相交图05/12 01:35
12F：→ chemmachine : 观察t有四组解因四次方程，且必有两正根，将t取sqrt05/12 01:36
13F：→ chemmachine : 可得x之四根，取x的第三大之根位在第三象限05/12 01:37
14F：→ chemmachine : 将第三象限积分*4可得全部面积05/12 01:37
15F：推 chemmachine : 第三象限面积为int[-1，x3](ax^3-ax)dx+1*(-x3)+05/12 01:45
16F：→ chemmachine : int[1，a(x_3)^3-ax_3](-ay^3+ay-x_3)dy05/12 01:46
17F：→ chemmachine : x_3为负，为t两正根开根号出来4个x的根x1x2x3x405/12 01:48
18F：→ chemmachine : 第三大根05/12 01:48
19F：→ algebraic : 想问楼主旧帐号怎麽了?05/12 02:41
20F：推 Vulpix : 最後有一个三次方程绕不掉，答案也并不美观吔。05/12 05:09
21F：→ TimcApple : 之前有一阵子有点事 一直没上 ptt 就自己注销了05/12 07:07
22F：→ TimcApple : 啊 没注意这个问题 本题稍微严格一点05/12 07:10
23F：→ TimcApple : 本题的答案是高中生觉得舒服的样子XD05/12 07:12
24F：推 alan23273850: 这题多项式系数无限多种，答案真会固定???05/12 08:40
25F：→ TimcApple : 因为有给定三根 实际上只有首项系数未知05/12 09:45
26F：推 chemmachine : 如果有别的差异很大的解法，还满佩服想出来的人05/12 09:47
27F：推 sunev : 3*sqrt(3/2) ?05/12 09:49
正解 今晚会用电脑转 100P
c大的解法其实只差一步（找到a） 50P
如果还有人给出其他解法 会斟酌给一些
28F：→ TimcApple : 根据图形变化 很容易确定有唯一解05/12 09:49
29F：推 chemmachine : 喔喔我有想法了~~ 05/12 09:54
30F：推 chemmachine : 想了一下还是解不出简单形式，等解答好了~~ 05/12 11:09
31F：推 LPH66 : 稍微花了一点时间打成长图 05/12 11:29
33F：→ LPH66 : 意外的中间过程连三次式都不用解, 只要解(双)二次式 05/12 11:34
34F：→ LPH66 : 突然发现 (5) 和 (6) 的合并可以直接这样接 05/12 11:39
35F：→ LPH66 : 4 u^2 v^2 = u^2 + v^2 = u^4 + v^4 然後解双二次 05/12 11:40
36F：→ LPH66 : 这样就省去 (5) 引入的倒数那一步了 05/12 11:40
37F：推 LPH66 : 把这样接的做法写详细在这里了: 05/12 11:52
39F：推 sunev : 我是用mathematica算的 (遮脸) ，不过基本上只要解 05/12 13:19
40F：→ sunev : 二次式没错。 05/12 13:19
41F：推 alan23273850: 刚看了一下，要怎麽证明那四个点是切点呢？ 05/12 16:16
42F：→ alan23273850: 应该说，为了让他们是切点，a 值唯一？ 05/12 16:19
43F：→ TimcApple : 题目要求他们是切点 於是会发现只有一个a符合要求 05/12 16:45
44F：→ alan23273850: 乾乾乾 我没看到 Γ1 和 Γ2 相切於 4 点 这句话... 05/12 17:24
45F：推 Vulpix : 如果把ax(x^2-1)叫做f(x)的话， 05/12 17:27
46F：→ Vulpix : 要解的方程挺好看的：f(f(x))=-x,f'(f(x))f'(x)=-1 05/12 17:27
47F：→ alan23273850: 我误会出题大大 TimcApple 的意思了... 05/12 17:49
48F：→ alan23273850: 原来 根据图形变化 很容易确定有唯一解 这句是指 a 05/12 17:50
49F：→ alan23273850: 不是指面积 呕呕呕呕呕 05/12 17:52
chemmachine, sunev, LPH66 已转
※ 编辑: TimcApple (101.12.68.12 台湾), 05/12/2020 21:27:16
50F：推 chemmachine : 收到。话说我少了切线条件所以一定四次，在我的b可 05/12 21:31
51F：→ chemmachine : 证必等於8，小於8是虚根，大於8，t会有4个以上增根 05/12 21:33
52F：→ chemmachine : 如此x会有4个以上不等於0的根，矛盾。 05/12 21:33