作者civilis (civilis)
看板Math
标题[微积] 加速度
时间Mon May 11 12:19:43 2020
在向量质函数的章节，课本也顺便讲了加速度，所以有以下公式
设向量值函数 r(t)
速度向量 v(t) = r'(t)
单位切向量 T(t) = v(t)/|v(t)|
单位法向量 N(t) = T'(t)/|T'(t)|
则加速度 a = v'
= [|v|T]'
= [|v|]'T + |v|T'
= [|v|]'T + |v|T'(|T'|/|T'|)
= [|v|]'T + |v||T'|N
= a_T*T + a_N*N
以物理来说加速度的切分量改变速率，法分量改变方向
所以 a_T = [|v|]' 是速率变化率，这个好理解
不过 a_N = |v||T'| 要怎麽解释成"方向改变率"呢？
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※ 编辑: civilis (27.242.106.149 台湾), 05/11/2020 12:34:47
1F：推 chemmachine : an是函数数值，非向量。N是单位法向量，和曲线垂直 05/11 12:41
2F：→ chemmachine : 呀，只改变方向。物理版最近有一篇类似的讨论很完 05/11 12:41
3F：→ chemmachine : 整。 05/11 12:41
4F：→ chemmachine : 课本应该有画出怎麽由t做出它的微分，会垂直。 05/11 12:41
6F：→ civilis : 感谢 你讲好多XD 慢慢看 05/11 13:09
我知道它会垂直只改变方向
不过我想知道关於数值的解释 说完整一点大概是这样
"为什麽速率乘切向量变化率的值"就是"方向改变率的值"呢？
※ 编辑: civilis (140.117.194.173 台湾), 05/11/2020 13:24:16
7F：推 Vulpix : T'自己就是方向改变率。 05/11 13:48
8F：推 chemmachine : 方向改变率的值，是由链锁率计算而来 05/11 14:15
9F：→ chemmachine : 方向改变率的值，是由链锁率计算而来 05/11 14:15
10F：→ chemmachine : 就是[|v|T]'两函数相乘的微分，这个值在物理版原文 05/11 14:16
11F：→ chemmachine : 的回文ERT还计算出V^2/R，你高中熟悉的法线加速度 05/11 14:16
12F：→ chemmachine : 整个计算的精神就是想办法把曲线变成两个垂直的直线 05/11 14:17
13F：→ chemmachine : 来分析。叫做化繁为简，有就是降低维度。把二维化成 05/11 14:18
14F：→ chemmachine : 两个一维来分析 05/11 14:18
15F：推 chemmachine : 你这个问题也等价於问为何圆周运动是V^2/R，高中有 05/11 14:21
16F：→ chemmachine : 教。当然前提是把一小段曲线看成一小段圆弧 05/11 14:21
17F：推 chemmachine : 更正不是链锁率，是乘法微分法则 05/11 14:43
18F：推 ERT312 : 喔对 不是连锁律 我写错了 05/11 15:18
19F：→ ERT312 : |T'(t)| 其实就是角速度 ω，∴ a_n = vω 05/11 15:22
20F：→ ERT312 : 物体绕密切圆圆心转的角速度 05/11 15:34
看了你们在物理版的讨论 还有一些思考後
我发现我是逻辑有问题 也问得不清楚 才会觉得好像没被回答到
有点感到抱歉 也感谢各位能陪我思考
以下叙述我的逻辑问题与结论
我问说 为什麽|v||T'|就是方向改变率呢
但这样问逻辑不对 能够这样问的情况是我已知什麽是方向改变率(已被定义)
而问为什麽|v||T'|符合这个定义 不过实际是我根本不知道什麽是方向改变率
所以我应该反过来想 方向改变率a_N就是|v||T'|
而要解释a_N这个值代表的意义 可以藉由引入曲率 K = |T'|/|v|来解释
a_N = |v||T'| = K|v|^2 = v^2/r ,r为密切圆半径
也就是说a_N所代表的方向改变率就是
在该点的密切圆上以同样速率运动所感受到的方向改变大小
※ 编辑: civilis (140.117.194.173 台湾), 05/11/2020 21:09:33
21F：推 chemmachine : 我觉得ok 05/11 21:49