※ 引述《lllll12b56 (11公分的嘉航)》之铭言： : 用比值计算收敛半径公式如下 : https://i.imgur.com/P8O7olV.jpg 首先说一下这个公式只能用在a_n恒不为0且极限存在 一般来说很有可能a_n=0或是极限不存在 更通用的general case是用limsup的root test, 叙述如下 --------------------------------------------------------------- <Thm1> 任给数列a_n: N→F , N是正整数, F=实数或是复数 则 (1) limsup |a_n|^1/n 总是存在, 记做L, L€[0,∞] (含+∞) (2) 对任何x_0€F, 定义 ∞ f(x):= Σa_n*(x-x_0)^n n=0 则 (1) 若L=0 则 f(x)在所有F处处收敛 (2) 若L=∞ 则 f(x)只有在x=x_0收敛, 其他皆发散(含不存在与+-∞) (3) 若L€(0,∞), 则f(x)在{|x-x_0|<1/L}收敛 在{|x-x_0|>1/L}发散(含不存在与+-∞) 在{|x-x_0|=1/L}则是不一定 其中(1)称作收敛半径无限大 (2)称作收敛半径0 (3)称作收敛半径1/L ----------------------------------------------------------------- 而下面你提到交错级数跟原级数取绝对值, 应该是想到(b)(c)(d)三种变体: (a) Σa_n*(x-x_0)^n (b) Σ(-1)^n*a_n*(x-x_0)^n (我不知道你所谓交错级数是不是这意思, 就纳进来) (c) Σ|a_n|*(x-x_0)^n (d) Σ|a_n*(x-x_0)^n| 我猜测你所"想像"的收敛半径大小关系是: (b)>=(a)>=(c)>=(d) 针对(b),(c)的话, 因为|(-1)^n*a_n| = ||a_n|| = |a_n| 所以(b),(c)收敛半径会跟(a)一样 而针对(d)的话, 问题即是是否绝对收敛? 答案是YES, 也就是说, 最初叙述的<Thm>其实有更强的叙述: ----------------------------------------------------------------- <Thm2> Thm1所叙述的所有"收敛"与"发散"词汇皆能置换成"绝对收敛"与"绝对发散" P.S. 边界点{|x-x_0|=1/L}仍是没有规则, 仅有级数都通用的: (i) 绝对收敛=>收敛 (ii) 发散=>绝对发散(含不存在与+-∞) ----------------------------------------------------------------- 这也是你可能听过: 幂级数在收敛半径内收敛<=>绝对收敛 至於证明的话, 在证明<Thm1>时其实证明过程就已经是直接证绝对收敛了 而或许有人会说是用"Abel's Theorem"证的, 这也没错, 因为阿贝尔定理跟<Thm1> 根本一样的证明技巧, 就是跟几何级数做Comparison test而已 这里叙述一下Abel's Theorem: ---------------------------------------------------------- <Abel's Theorem> 任给数列a_n: N→F , N是正整数, F=实数或是复数, x_0€F 定义 ∞ f(x):= Σa_n*(x-x_0)^n n=0 则 (1) 若f(w)收敛 则f(x)绝对收敛 for any x with |x-x_0|<|w-x_0| (2) 若f(w)绝对发散则f(x)发散 for any x with |x-x_0|>|w-x_0| ------------------------------------------------------- : 交错级数和原级数取绝对值都一样 : 所以代表交错级数和原级数收敛半径恒等？ : 有任何证明或观念可以参考吗？ : 因为直观上交错级数的收敛半径应该更大一点 一直想不通 上面已经回答, 总结来说(a)(b)(c)(d)四个级数的收敛半径完全一样 而在边界点{|x-x_0|=1/L}的收敛性与绝对收敛性不同而已 --

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