正在 shelter in place, 想说几百年没在数学版发文, 来科普一下 abc 猜想好了 这篇会从大学部代数导论的观点出发, 给一些初学者能看懂的连结 1. Mason-Stother 定理 1.1 以下我们观察复系数多项式 对每一个非零多项式 f(t), 我们可以定义 n(f) := f 相异根的个数 比方说 n(t^2+1) = 2, 因为 t^2+1 = (t+i)(t-i) 有两个相异根 @ t = ±i n(t^2) =1, 因为 t^2 有一个重根 @ t = 0 1.2 现在看三个非零多项式 f(t), g(t), 和 h(t)= 如果 h(t) = f(t) + g(t), 那麽用大学部代数 (cf. Lang) 可以简单证明他们之中最高的次数, 可以被他们乘积的相异根个数刻划: ─────────────────────────────── 定理(Mason-Stother) 如果 f 与 g 互质, 则 max{deg(f), deg(g), deg(h)} ≦ n(fgh) - 1 ─────────────────────────────── 1.3 比方说 假设 f(t) = t^2, g(t) = 1-t^2, h(t) = 1 则 deg(f) = 2, deg(g) = 2, deg(h) = 0, n(fgh) = n(t^2-t^4) = 3. 可验证 max{2,2,0} = 2 ≦ 3-1 1.4 我们可以应用 Mason-Stother 定理来证明多项式版本的费马最後定里: ─────────────────────────────── Cor. 给定 n > 1 和两两互质的非零复系数多项式 F(t), G(t), H(t) 如果 F^n + G^n = H^n, 则 n = 2 ─────────────────────────────── (pf) 套用 MS 定理到 f = F^n, g = G^n, h = H^n 上: n*deg(F) = deg(F^n) ≦ n(F^nG^nH^n) - 1 = n(FGH) - 1 n 次方不影响重根数 ≦ deg(F) + deg(G) + deg(H) - 1 多项式性质 同理我们可推得 n*deg(G) 和 n*deg(H) 有同样的上界 把三式加在一起, 可得 n(deg(F) + deg(G) + deg(H)) ≦ 3(deg(f) + deg(G) + deg(H) -1), 或 (n-3)(deg(F) + deg(G) + deg(H)) ≦ -3, 保证 n 必须 < 3, 因此 n = 2. ─────────────────────────────── 2. abc 猜想 2.1 动机就是将复系数多项式环改成整数环, 希望对应的版本也会成立. 我们可以建立对应的关系如下: ┌──────┬────┬────────────┐ │f(t) in C[t]│ deg(f) │ n(f) = 相异根的个数 │ ├──────┼────┼────────────┤ │ a in Z │ |a| │ N(a) = 相异质因数的乘积│ └──────┴────┴────────────┘ 2.2 MS 定理推广 (alpha 版) 如果直接依样画葫芦, 我们得到 ────────────────────────────── 若 a + b = c, abc ≠ 0, 且 gcd{a,b,c} = 1, 则 max{|a|, |b|, |c|} ≦ N(abc) - 1 ────────────────────────────── 简单试几个例子: a = 9, b = -1, c = 8, N(abc) = N(-2^3*3^2) = 2*3 = 6 max{|a|, |b|, |c|} = 9 并不小於 6-1 2.3 MS 定理推广 (beta 版) 如果我们允许一个常数倍数来当上界, 这样可行吗? ────────────────────────────── 若 a + b = c, abc ≠ 0, 且 gcd{a,b,c} = 1, 则存在常数 C 使 max{|a|, |b|, |c|} ≦ C*N(abc) ────────────────────────────── 稍微构造一下, 会发现: 取 a = 5^(2^n) - 1, b = 1, c = 5^(2^n) 由数学归纳法, 当 n = 1 时 2^n 整除 a, 因此 a = (5^(2^(n-1) + 1)(5^(2^(n-1) - 1) 可被 2^n 整除 └──┬──┘ └──┬──┘ 偶数 降阶 将 a 写作 a = 2^n*d 因此 N(abc) = N( 2^n * d * 5^(2^n)) ≦ 10d 一方面, 由 a = 2^n*d ≦ c = 5^(2^n), 取 log 可得 nlog(2) + log(d) ≦ log(c), 或 log(d) ≦ log(c) - nlog(2). 另一方面, 假设不等式成立, 我们有 c ≦ C*N(abc) ≦ 10Cd, 则 log(c) ≦ log(10) + log(C) + log(d) ≦ 1 + log(C) + log(c) - nlog(2) (带入上式) 故 nlog(2) ≦ 1 + logC 因此, 不管常数 C 怎麽取, 只要 n 够大都可构造出反例 2.4 abc 猜想 最後, 於 1985 年 Oesterle-Masser 从幂次上修正: ───────────────────────────── abc 猜想 若 a + b = c, abc≠0 且 gcd(a,c,b) =1. 对於任意的 e>0, 都存在常数 C = C(e) 使得 max{|a|,|b|,|c|} ≦ C*(N(abc))^(1+e) ───────────────────────────── abc 猜想和许多数论中的猜想等价, 包括 Lang-Waldschmidt 猜想, generalized Szpiro 猜想, 也可以用来证明 Asymptotic 费马定理, (如同多项式中 MS定理可以用来证明多项式版的费马最後定理) 证明 Artin 猜想, 和 Marshall-Hall 猜想 3. abc 猜想近况 3.1 宇宙理论 於 2012 年, 自称宇宙际几何学者的京都大学教授望月新一宣称他发明的 宇 宙际 泰赫穆勒理论 (IUTT) 可以证明 abc 猜想. 该证明长约 600 页, 自公开发表以後持续修正, 数学社群持续想要了解 IUTT 3.2 Scholze-Stix 2018 报告 2018 费尔兹奖得主, 德国马普数学所主任 Peter Scholze 与 Jakob Stix 在访问望月氏以後发表了一份报告 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf 当中提出见解, 为什麽他们认为 abc 猜想没有被 IUTT 证明. 他们认为 IUTT 的证明有着不能被修复的缺陷, 而望月氏的 解释并没有能够说服他们. 报告中也提到望月氏会提出另一份报告提出异议. 可以看出这次的访问并不愉快: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-08.pdf 首段他说: "...我只能说我看到 SS 报告中其中一点时, 感到难以言喻的震惊..." "...这展现了他们对於研究所等级, 甚至好一点的大学部都能掌握的 heights 理论完全不懂 (profound ignorance)..." 3.3 最新消息 2020年4月, 望月氏的工作被京都大学的研究机构 RIMS 期刊接受. 这并不代表证明被认为是正确的, 最低限度这代表了 RIMS 认为 这些工作是有学术价值, 值得与数学社群分享的. 批评者认为望月氏本人就是 RIMS 其中一名编辑, 编辑发表在自己 的期刊, 只要遵守利益回避是没有问题的, 但是并不是很光彩. 此外, PRIMS 这个期刊, 虽说不差, 但真正解决 abc 猜想的工作, 应该值得发表在世界顶级的期刊上. 目前为止看起来望月氏并没有对於 SS 的报告作出更多回应. (西方)数学社群看起来仍然倾向相信 SS 多一点. ※ 引述《giraffe1021 (giraffe)》之铭言： : 完整标题： : Mathematical proof that rocked number theory will be published : 原文连结： : https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2 : 共同社中文报导： : https://tchina.kyodonews.net/news/2020/04/dca31ffc041d-abc.html : 翻译摘要： : 经过了8年的时间，日本数学家望月新一终於得到一些认可了，他的600页abc猜想证明目前 : 已通过Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)审 : 查并即将发布 : RIMS中的两位数学家柏原正树及玉川安骑男在今日(4/3)於京都的记者会说明了这个消息， : 柏原表示这「将带来重大的影响」。望月这几年来一向拒绝媒体采访，这次记者会他也没有 : 出现。 : 8年前望月在网路上发布了4篇关於「宇宙际Teichmüller理论」的论文，共长达600多页， : 其中自称的结论之一是能证明abc猜想。 : abc猜想是关於整数的加法和乘法关系的猜想，1985年由2名欧洲的数学家提出。其内容大概 : 是，由没有公因数的自然数a和b相加得出数c，对a, b, c进行质因数分解，将得到的质因数 : 各相乘一次後得出数d，则在「大多数情况」下d大於c。 : 许多数学家花了好几年的时间试着想了解望月的证明，2018年时两位数学家Peter Scholze : (同年fields medal得主)与Jakob Stix认为该证明有个无法修复的缺陷，但望月认为二者的 : 批评存在「某种根本上的误解」 : Wiki有abc猜想的完整叙述及其重要性，这边就不再赘述 : https://zh.wikipedia.org/wiki/abc猜想 -- ╭═──═───══╮╭═──═╯ ． . ‧ ╰══─═──╮ ║细雪纷然，悄落无声├╯ . . . ╰═╮╭ │衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧ .‥ ． ．残雪浊淖，不复莹洁╰╯ │我心啊！请白洁胜雪║ ． , ˙ ‧. ． . 曾经底光华已为陈蹟 ║请无垢无瑕 │ 然我心啊，如磐石无转 ╰═══──═──═╯╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴仍烨然如昔 ψTassTW --

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