作者coastq22889 (chi_square)
看板Math
标题[微积] 匀速参数曲线的转弯方程求解
时间Sat Mar 28 13:39:46 2020
工程上遇到的一个路径问题，不知道有什麽方法可以推导
考虑二维情况下，一参数曲线r(t)由(0, 1)出发且匀速前进至(1, 0)，假设此曲线需满足条
件
1. ||r’(t)|| = 1
2. max|r_x’(t)|, max|r_y’(t)| <= V (若满足1, 4, 5，则 V = 1 自动满足）
3. max|r_x’’(t)|, max|r_y’’(t)| <= A
4. r(0) = (0, 1); r’(0) = (1, 0)
5. r(T) = (1, 0); r’(T) = (0, -1); T = inf{t >= 0| r(t) = (1, 0)}
则想求，在满足1 - 5 中的最短的r(t)为何？
另想求一个变化，因为想说V, A需有够大才能有解，所以想说在满足 1 - 4 的情况下
r(t) 往 y = 0出发通过某x_T，也就是r(0) = (1, 0) 且 r(T) = (0, x_T)
则可使x_T最小的 r(t) 为何
想学变分学里的最速降线列式但却写不下来，不知道有没有适合求这条r(t)的方法
解析解或数值解都可以，先谢谢各位了
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 27.52.40.148 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1585373988.A.731.html
1F：推 chemmachine : int{t >= 0| r(t) = (1, 0)} 这个符号甚麽意思?03/28 20:48
2F：→ chemmachine : 在满足 1 - 4 的情况下，r=(1，0)和4的r(0)=(0，1)03/28 20:51
3F：→ chemmachine : 矛盾03/28 20:51
4F：推 chemmachine : 题意不清03/28 20:53
5F：→ chemmachine : r(t)=(x(t)，y(t)) 考虑方程x'(t)^2+y'(t)^2=1去解03/28 20:55
6F：→ chemmachine : 有初始值的微分方程。可以考虑x(t)=cost y(t)=sint03/28 20:56
若考虑限制式1 - 5，那麽在A>=1时，等速率圆周运动 （sin t, cos t) ； 0 <= t <= pi
/ 2 是一个可行解没错，但难点在於可否证明或反证 (sin t, cos t) 是此时所有满足1 -
5的解中最短的
7F：推 chemmachine : r(t)的长度会是int|r'(t)|=inta到b=T时间03/28 21:00
现在就是连结束时间T是多少都不知道，所以不知道怎麽积
8F：推 chemmachine : 以上是我想到的几个工具。当然变分法是可以考虑用看03/28 21:03
9F：推 chemmachine : 看懂了，你的int是积分。03/28 21:07
抱歉打错字，我想打的是inf，意指当r(t)=(1, 0)时的t，已修正
※ 编辑: coastq22889 (27.246.202.212 台湾), 03/28/2020 23:11:33
10F：推 chemmachine : 你这题可以用物理去想。03/28 23:32
11F：→ chemmachine : 单纯用变分法我无法直接这题，因为你的限制式很多03/28 23:46
12F：→ chemmachine : 我用变分法+物理圆周运动有一个做法明天打03/28 23:49
13F：推 chemmachine : 变分法如你所言，我印象不是很好使用。你这题刚好有03/28 23:58
14F：→ chemmachine : 物理意义。03/28 23:58
※ 编辑: coastq22889 (27.246.202.212 台湾), 03/29/2020 00:05:50
15F：→ Vulpix : 2这条应该可以省略。基於4和5，V≧1。而1造成03/29 01:00
16F：→ Vulpix : |r_x'(t)|和|r_y'(t)|必≦1。03/29 01:01
是，我稍微备注一下。2 是可以由1, 4, 5推导出来的式子
※ 编辑: coastq22889 (27.242.161.192 台湾), 03/29/2020 09:46:45
※ 编辑: coastq22889 (27.242.161.192 台湾), 03/29/2020 09:48:49
我懂了，也就是当A>=1的时候，以 A = 1 / R^2 的向心力公式在两个boundary做圆，最後
做两圆的切线就可以得到最佳路径，感谢提供。
22F：→ chemmachine : 你这题因为限制式太多，所以古典变分法不好用，也因 03/29 11:38
23F：→ chemmachine : 为限制多，刚好又满足物理上的圆周运动，所以应该可03/29 11:38
24F：→ chemmachine : 照我这样子解。<1>到<5>化为物理描述，用圆周运动 03/29 11:39
25F：→ chemmachine : 变分法的两点之间连线，极端性原理(不懂上网查)。 03/29 11:40
26F：推 chemmachine : 我论证是所有曲线喔，不是只有圆而已，技巧性的把圆03/29 11:42
27F：→ chemmachine : 以外排除。03/29 11:42
29F：→ chemmachine : 式的实际工程问题式无能为力的 03/29 11:44
30F：推 chemmachine : 你的第二个变化题用以上讨论可以轻松做出，不过你题 03/29 12:02
31F：→ chemmachine : 目数字还是没改03/29 12:02
32F：→ chemmachine : 也就是r(0) =(1, 0)<=和<4>矛盾且 r(T) = (0, x_T)03/29 12:04
这边我大概了解了，若A>4则向心力足以提供路径在到达y=0时转一整圈，此时x_T可为-inf
，其余就是做一最小圆看圆与y=0时x的交点
※ 编辑: coastq22889 (110.26.43.210 台湾), 03/29/2020 20:20:06
33F：推 chemmachine : 恩，不同的a会影响轨迹，看要转一圈或多圈都行。因 03/29 21:17
34F：→ chemmachine : 为直线比较好，所以圆让它越小圈越好。 03/29 21:17